Lema de Urysohn
En topología , el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos subconjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por una función continua . [1]
El lema de Urysohn se usa comúnmente para construir funciones continuas con varias propiedades en espacios normales. Es ampliamente aplicable ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. El lema se generaliza (y generalmente se usa en la prueba de) el teorema de extensión de Tietze .
Se dice que dos subconjuntos y de un espacio topológico están separados por vecindades si hay vecindades de y de que son disjuntas. En particular y son necesariamente disjuntos.
Se dice que dos subconjuntos simples y están separados por una función si existe una función continua desde el intervalo unitario tal que para todos y para todos Cualquier función de este tipo se llama función de Urysohn para y En particular y son necesariamente disjuntos.
![{\ estilo de visualización f: X \ a [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbce99d737c06662e393d2d3dba7505a1e6c6eb6)
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
De ello se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, también lo están sus cierres.
También se sigue que si dos subconjuntos y están separados por una función entonces y están separados por vecindades.
Un espacio normal es un espacio topológico en el que dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por vecindades. El lema de Urysohn establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por una función continua.
