En topología , el teorema de extensión de Tietze (también conocido como teorema de extensión de Tietze-Urysohn-Brouwer) establece que las funciones continuas en un subconjunto cerrado de un espacio topológico normal pueden extenderse a todo el espacio, conservando la delimitación si es necesario.
Declaración formal
Si es un espacio normal y
es un mapa continuo de un subconjunto cerrado de en los números reales que lleva la topología estándar, entonces existe una extensión continua de a que por definición es un mapa continuo
con para todos Es más, puede ser elegido de tal manera que
eso es, si está limitado entonces puede ser elegido para estar acotado (con el mismo límite que ).
Historia
LEJ Brouwer y Henri Lebesgue demostraron un caso especial del teorema, cuandoes un espacio vectorial real de dimensión finita . Heinrich Tietze lo extendió a todos los espacios métricos , y Paul Urysohn demostró el teorema como se establece aquí, para espacios topológicos normales. [1] [2]
Declaraciones equivalentes
Este teorema es equivalente al lema de Urysohn (que también es equivalente a la normalidad del espacio) y es de amplia aplicación, ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. Se puede generalizar reemplazando con para algunos conjuntos de indexación cualquier retractación de o cualquier retracción absoluta normal .
Variaciones
Si es un espacio métrico, un subconjunto no vacío de y es una función continua de Lipschitz con constante de Lipschitz luego se puede ampliar a una función continua de Lipschitz con la misma constante Este teorema también es válido para funciones continuas de Hölder , es decir, si es la función continua de Hölder con constante menor o igual a luego se puede ampliar a una función continua de Hölder con la misma constante. [3]
Otra variante (de hecho, generalización) del teorema de Tietze se debe a Z. Ercan: [4] Sea ser un subconjunto cerrado de un espacio topológico Si es una función semicontinua superior ,es una función semicontinua inferior , y una función continua tal que para cada y para cada entonces hay una extensión continua de tal que para cada Este teorema también es válido con alguna hipótesis adicional si es reemplazado por un espacio Riesz general localmente sólido . [4]
Ver también
- Teorema de extensión de Whitney : recíproco parcial del teorema de Taylor
- Teorema de Hahn-Banach - Teorema sobre la extensión de funcionales lineales acotados
Referencias
- ^ "Lema de Urysohn-Brouwer" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Urysohn, Paul (1925), "Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen", Mathematische Annalen , 94 (1): 262–295, doi : 10.1007 / BF01208659 , hdl : 10338.dmlcz / 101038.
- ^ McShane, EJ (1 de diciembre de 1934). "Ampliación de la gama de funciones" . Boletín de la American Mathematical Society . 40 (12): 837–843. doi : 10.1090 / S0002-9904-1934-05978-0 .
- ^ a b Zafer, Ercan (1997). "Extensión y separación de funciones con valores vectoriales" (PDF) . Revista Turca de Matemáticas . 21 (4): 423–430.
- Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. " Teorema de extensión de Tietze " . De MathWorld
- Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
- Bonan, Edmond (1971), "Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 272 : 714–717.