En relatividad general , la métrica de Vaidya describe el espacio-tiempo externo no vacío de una estrella esféricamente simétrica y no giratoria que está emitiendo o absorbiendo polvos nulos . Lleva el nombre del físico indio Prahalad Chunnilal Vaidya y constituye la generalización no estática más simple de la solución de Schwarzschild no radiativa a la ecuación de campo de Einstein y, por lo tanto, también se denomina "métrica de Schwarzschild radiante (brillante)".
De las métricas de Schwarzschild a Vaidya
La métrica de Schwarzschild como la solución estática y esféricamente simétrica de la ecuación de Einstein dice
Para eliminar la singularidad de coordenadas de esta métrica en , se podría cambiar a las coordenadas de Eddington-Finkelstein . Por lo tanto, introduzca la coordenada nula "retardada (/ saliente)" por
y la ecuación (1) podría transformarse en la "métrica de Schwarzschild retardada (/ saliente)"
o, en su lugar, podríamos emplear la coordenada nula "avanzada (/ entrante)" por
por lo que la ecuación (1) se convierte en la "métrica avanzada (/ entrante) de Schwarzschild"
La ecuación (3) y la ecuación (5), como soluciones estáticas y esféricamente simétricas, son válidas tanto para objetos celestes ordinarios con radios finitos como para objetos singulares como los agujeros negros . Resulta que, todavía es físicamente razonable si uno extiende el parámetro de masa en las ecuaciones (3) y ecuación (5) de una constante a funciones de la coordenada nula correspondiente, y respectivamente, así
Las métricas extendidas Eq (6) y Eq (7) son respectivamente las métricas de Vaidya "retardada (/ saliente)" y "avanzada (/ entrante)". [1] [2] También es útil a veces reformular las ecuaciones de métricas de Vaidya (6) (7) en la forma
En cuanto a la ecuación métrica de Vaidya "retardada (/ saliente)" (6), [1] [2] [3] [4] [5] el tensor de Ricci tiene solo un componente distinto de cero
dónde y son (co) vectores nulos (véase el recuadro A a continuación). Por lo tanto,es un "campo de radiación pura", [1] [2] que tiene una densidad de energía de. Según las condiciones de energía nula
tenemos y así el cuerpo central está emitiendo radiaciones.
Es de destacar que el campo Vaidya es un campo de radiación pura en lugar de campos electromagnéticos . Las partículas emitidas o los flujos de energía-materia tienen masa en reposo cero y, por lo tanto, generalmente se denominan "polvos nulos", típicamente como fotones y neutrinos , pero no pueden ser ondas electromagnéticas porque las ecuaciones de Maxwell-NP no se satisfacen. Por cierto, las tasas de expansión nula de entrada y salida para el elemento de línea Eq (6) son respectivamente
Recuadro A: Análisis de la métrica Vaidya en una tétrada nula "saliente"
Suponer , luego el Lagrangiano para geodésicas radiales nulas del espacio-tiempo de Vaidya "retardado (/ saliente)" La ecuación (6) es
donde punto significa derivada con respecto a algún parámetro . Este lagrangiano tiene dos soluciones,
Según la definición de en la ecuación (2), uno podría encontrar que cuando aumenta, el radio de área aumentaría también para la solución , tiempo disminuiría para la solución . Por lo tanto, debe reconocerse como una solución saliente mientras sirve como una solución entrante. Ahora, podemos construir una tétrada nula compleja que se adapta a las geodésicas radiales nulas salientes y emplear el formalismo de Newman-Penrose para realizar un análisis completo del espacio-tiempo de Vaidya saliente. Tal tétrada adaptada saliente se puede configurar como
y los covectors de base dual son por lo tanto
En esta tétrada nula, los coeficientes de espín son
Dado que el único escalar Weyl-NP que no desaparece es , el espacio-tiempo de Vaidya "retardado (/ saliente)" es de tipo D de Petrov . Además, existe un campo de radiación como.
Recuadro B: Análisis de la métrica de Schwarzschild en una tétrada nula "saliente"
Para la ecuación métrica de Schwarzschild "retardada (/ saliente)" (3), sea , y luego el Lagrangiano para geodésicas radiales nulas tendrá una solución saliente y una solución entrante . Similar al recuadro A, ahora configure la tétrada saliente adaptada por
El espacio-tiempo "retardado (/ saliente)" de Schwarzschild es de tipo D de Petrov con siendo el único escalar Weyl-NP que no desaparece.
Vaidya entrante con campo absorbente puro
En cuanto a la ecuación métrica de Vaidya "avanzada / entrante" (7), [1] [2] [6] los tensores de Ricci nuevamente tienen un componente distinto de cero
y por lo tanto y el tensor de estrés-energía es
Este es un campo de radiación pura con densidad de energía. , y una vez más se sigue de la condición de energía nula Eq (11) que , por lo que el objeto central está absorbiendo polvos nulos. Como se calcula en el recuadro C, los componentes Weyl-NP y Ricci-NP distintos de cero de la ecuación métrica de Vaidya "avanzada / entrante" (7) son
Además, las tasas de expansión nula saliente y entrante para el elemento de línea Eq (7) son respectivamente
La solución de Vaidya avanzada / entrante Eq (7) es especialmente útil en la física de los agujeros negros, ya que es una de las pocas soluciones dinámicas exactas existentes. Por ejemplo, a menudo se emplea para investigar las diferencias entre las diferentes definiciones de los límites dinámicos de los agujeros negros, como el horizonte de eventos clásico y el horizonte de captura cuasilocal; y como lo muestra la ecuación (17), la hipersuperficie evolutiva es siempre un horizonte atrapado marginalmente exterior ().
Recuadro C: Análisis de la métrica de Vaidya en una tétrada nula "entrante"
Suponer , entonces el Lagrangiano para geodésicas radiales nulas de la ecuación espaciotemporal de Vaidya "avanzada (/ entrante)" (7) es
que tiene una solución entrante y una solución saliente de acuerdo con la definición de en la ecuación (4). Ahora, podemos construir una tétrada nula compleja que se adapta a las geodésicas radiales nulas entrantes y emplear el formalismo de Newman-Penrose para realizar un análisis completo del espacio-tiempo de Vaidya. Tal tétrada adaptada entrante se puede configurar como
y los covectors de base dual son por lo tanto
En esta tétrada nula, los coeficientes de espín son
Dado que el único escalar Weyl-NP que no desaparece es , el espacio-tiempo Vaidya "avanzado (/ entrante)" es de tipo D de Petrov , y existe un campo de radiación codificado en.
Recuadro D: Análisis de la métrica de Schwarzschild en una tétrada nula "entrante"
Para la ecuación métrica de Schwarzschild "avanzada (/ entrante)" (5), aún deje , y luego el Lagrangiano para las geodésicas radiales nulas tendrá una solución entrante y una solución saliente . Similar a la Caja C, ahora configure la tétrada entrante adaptada por
por lo que los coeficientes de giro son
y los escalares Weyl-NP y Ricci-NP están dados por
El espacio-tiempo "avanzado (/ entrante)" de Schwarzschild es de tipo D de Petrov con siendo el único escalar Weyl-NP que no desaparece.
Comparación con la métrica de Schwarzschild
Como una extensión natural y más simple de la métrica de Schwazschild, la métrica de Vaidya todavía tiene mucho en común con ella:
Ambas métricas son de Petrov-tipo D consiendo el único escalar Weyl-NP que no desaparece (como se calcula en los recuadros A y B).
Sin embargo, hay tres diferencias claras entre la métrica de Schwarzschild y Vaidya:
En primer lugar, el parámetro de masa para Schwarzschild es una constante, mientras que para Vaidya es una función dependiente de u.
Schwarzschild es una solución a la ecuación de Einstein del vacío , mientras que Vaidya es una solución a la ecuación de Einstein sin trazas con un campo de energía de radiación pura no trivial. Como resultado, todos los escalares Ricci-NP para Schwarzschild están desapareciendo, mientras que tenemos para Vaidya.
Schwarzschild tiene 4 campos vectoriales Killing independientes , incluido uno similar al tiempo, y por lo tanto es una métrica estática, mientras que Vaidya tiene solo 3 campos vectoriales Killing independientes con respecto a la simetría esférica y, en consecuencia, no es estático. En consecuencia, la métrica de Schwarzschild pertenece a la clase de soluciones de Weyl, mientras que la métrica de Vaidya no.
Extensión de la métrica de Vaidya
Métrica de Kinnersley
Mientras que la métrica de Vaidya es una extensión de la métrica de Schwarzschild para incluir un campo de radiación puro, la métrica de Kinnersley [7] constituye una extensión adicional de la métrica de Vaidya; describe un objeto masivo que acelera en retroceso cuando emite radiación sin masa de forma anisotrópica. La métrica de Kinnersley es un caso especial de la métrica de Kerr-Schild , y en coordenadas cartesianas del espacio-tiempo toma la siguiente forma:
donde durante la duración de esta sección todos los índices se subirán y bajarán utilizando la métrica de "espacio plano" , la masa" es una función arbitraria del tiempo adecuado a lo largo de la línea mundial de la masa, medida con la métrica "plana", y describe la línea arbitraria del mundo de la masa, es entonces la cuatro velocidades de la masa,es un campo de vector nulo de "métrica plana" definido implícitamente por la ecuación. (20) y extiende implícitamente el parámetro de tiempo adecuado a un campo escalar a lo largo del espacio-tiempo al verlo como constante en el cono de luz saliente de la métrica "plana" que emerge del evento y satisface la identidad Moliendo el tensor de Einstein para la métrica e integrando el flujo de energía-momento de salida "en el infinito", se encuentra que la métricadescribe una masa con cuatro momentos dependientes del tiempo adecuado que emite un << enlace: 0 >> neto a una velocidad adecuada de visto desde el marco de reposo instantáneo de la masa, el flujo de radiación tiene una distribución angular dónde y son funciones escalares complicadas de y sus derivados, y es el ángulo del marco de reposo instantáneo entre la aceleración 3 y el vector nulo saliente. Por lo tanto, la métrica de Kinnersley puede verse como una descripción del campo gravitacional de un cohete de fotones en aceleración con un escape muy mal colimado.
En el caso especial donde es independiente del tiempo adecuado, la métrica de Kinnersley se reduce a la métrica de Vaidya.
Métrica de Vaidya-Bonner
Dado que la materia radiada o absorbida puede ser eléctricamente no neutra, las Eq (6) (7) de métricas de Vaidya salientes y entrantes pueden extenderse naturalmente para incluir cargas eléctricas variables,
Las ecuaciones (18) (19) se denominan métricas de Vaidya-Bonner y, aparentemente, también pueden considerarse extensiones de la métrica de Reissner-Nordström , en contraposición a la correspondencia entre las métricas de Vaidya y Schwarzschild.
Métrica de Vaidya-Kerr
Recientemente, se han propuesto varias soluciones de rotación de radiación en relatividad general. Primero, un estudio realizado por Ibohal discutió la métrica axisimétrica de Vaidya, que admite el uso de fluidos imperfectos. [8] Entonces, Chou propuso irradiar una solución de agujero negro de Kerr (métrica de Vaidya-Kerr) utilizando el método de transformación de coordenadas elipsoides. [9] La ecuación métrica (20),
dónde es una función de masa dependiente de u en la métrica de Vaidya y es una constante en la métrica de Schwarzschild.
Ver también
Métrica de Schwarzschild
Solución de polvo nulo
Referencias
^ a b c d Eric Poisson. Juego de herramientas de un relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Sección 4.3.5 y Sección 5.1.8.
↑ a b c d Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempos exactos en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Sección 9.5.
^ Thanu Padmanabhan. Gravitación: cimientos y fronteras . Cambridge: Cambridge University Press, 2010. Sección 7.3.
^ Pankaj S Joshi. Aspectos globales en gravitación y cosmología . Oxford: Oxford University Press, 1996. Sección 3.5.
^ Pankaj S Joshi. Colapso gravitacional y singularidades del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press, 2007. Sección 2.7.6.
↑ Valeri Pavlovich Frolov, Igor Dmitrievich Novikov. Física del agujero negro: conceptos básicos y nuevos desarrollos . Berlín: Springer, 1998. Sección 5.7.
^ Kinnersley, W. (octubre de 1969). "Campo de una masa puntual que acelera arbitrariamente". Phys. Rev . 186 (5): 1335. Bibcode : 1969PhRv..186.1335K . doi : 10.1103 / PhysRev.186.1335 .
^Ibohal, Ng. (Enero de 2005). "Métricas rotativas que admiten fluidos no perfectos" . Relatividad general y gravitación . 37 (1): 19–51. arXiv : gr-qc / 0403098 . doi : 10.1007 / s10714-005-0002-6 . ISSN 0001-7701 .
^Chou, Yu-Ching (1 de enero de 2020). "Un agujero negro de Kerr radiante y radiación de Hawking" . Heliyon . 6 (1): e03336. doi : 10.1016 / j.heliyon.2020.e03336 . ISSN 2405-8440 . PMC 7002888 . PMID 32051884 .