En mecánica , un sistema de masa variable es una colección de materia cuya masa varía con el tiempo . Puede resultar confuso intentar aplicar la segunda ley del movimiento de Newton directamente a un sistema de este tipo. [1] [2] En cambio, la dependencia del tiempo de la masa m se puede calcular reordenando la segunda ley de Newton y agregando un término para dar cuenta de la cantidad de movimiento transportada por la masa que entra o sale del sistema. La ecuación general del movimiento de masa variable se escribe como
donde F ext es la fuerza externa neta sobre el cuerpo, v rel es la velocidad relativa de la masa entrante o que escapa con respecto al centro de masa del cuerpo y v es la velocidad del cuerpo. [3] En astrodinámica , que se ocupa de la mecánica de los cohetes , el término v rel se denomina a menudo velocidad de escape efectiva y se denota v e . [4]
Derivación
Existen diferentes derivaciones para la ecuación de movimiento del sistema de masa variable, dependiendo de si la masa entra o sale de un cuerpo (en otras palabras, si la masa del cuerpo en movimiento aumenta o disminuye, respectivamente). Para simplificar los cálculos, todos los cuerpos se consideran partículas . También se supone que la masa no puede aplicar fuerzas externas en el cuerpo fuera de los eventos de acreción / ablación.
Acreción masiva
La siguiente derivación es para un cuerpo que está ganando masa ( acreción ). Un cuerpo de masa m variable en el tiempo se mueve a una velocidad v en un tiempo inicial t . En el mismo instante, una partícula de masa dm se mueve con velocidad u . El impulso inicial se puede escribir como [5]
Ahora, en un tiempo t + d t , deje que tanto el cuerpo principal como la partícula se acumulen en un cuerpo de velocidad v + d v . Por tanto, el nuevo impulso del sistema se puede escribir como
Dado que d m d v es el producto de dos valores pequeños, se puede ignorar, lo que significa que durante d t la cantidad de movimiento del sistema varía para
Por tanto, según la segunda ley de Newton
Tomando nota de que u - v es la velocidad de d m con relación a m , simbolizado como v rel , esta ecuación final puede ser dispuesto como [6]
Ablación / eyección masiva
En un sistema en el que la masa se expulsa o se extrae de un cuerpo principal, la derivación es ligeramente diferente. En el tiempo t , deje que una masa m viaje a una velocidad v , lo que significa que el momento inicial del sistema es
Suponiendo que u es la velocidad de la masa ablacionada d m con respecto al suelo, en un tiempo t + d t el momento del sistema se convierte en
donde u es la velocidad de la masa expulsada con respecto al suelo, y es negativa porque la masa ablacionada se mueve en dirección opuesta a la masa. Así, durante d t, el momento del sistema varía para
La velocidad relativa v rel de la masa ablacionada con respecto a la masa m se escribe como
Por lo tanto, el cambio en la cantidad de movimiento se puede escribir como
Por tanto, según la segunda ley de Newton
Por lo tanto, la ecuación final se puede organizar como
Formularios
Según la definición de aceleración , a = d v / d t , por lo que la ecuación de movimiento del sistema de masa variable se puede escribir como
En los cuerpos que no se tratan como partículas a debe reemplazarse por un cm , la aceleración del centro de masa del sistema, es decir
A menudo, la fuerza debida al empuje se define como así que eso
Esta forma muestra que un cuerpo puede tener aceleración debido al empuje incluso si no actúan fuerzas externas sobre él ( F ext = 0). Tenga en cuenta finalmente que si uno deja que F net sea la suma de F ext y F empuje, entonces la ecuación recupera la forma habitual de la segunda ley de Newton:
Ecuación ideal del cohete
La ecuación del cohete ideal , o la ecuación del cohete de Tsiolkovsky , se puede utilizar para estudiar el movimiento de vehículos que se comportan como un cohete (donde un cuerpo se acelera expulsando parte de su masa, un propulsor , a alta velocidad). Puede derivarse de la ecuación general de movimiento para sistemas de masa variable de la siguiente manera: cuando no actúan fuerzas externas sobre un cuerpo ( F ext = 0), la ecuación de movimiento del sistema de masa variable se reduce a [2]
Si se supone que la velocidad del propulsor expulsado, v rel , tiene la dirección opuesta a la aceleración del cohete, d v / d t , el equivalente escalar de esta ecuación se puede escribir como
de la cual d t se puede cancelar para dar
La integración por separación de variables da
Reordenando y dejando Δ v = v 1 - v 0 , se llega a la forma estándar de la ecuación ideal del cohete:
donde m 0 es la masa total inicial, incluido el propulsor, m 1 es la masa total final, v rel es la velocidad de escape efectiva (a menudo denotada como v e ), y Δ v es el cambio máximo de velocidad del vehículo (cuando no actúan fuerzas externas).
Referencias
- ^ Kleppner, D .; Kolenkow, RJ (1978) [1973]. Introducción a la mecánica . Londres: McGraw-Hill . págs. 133-139 . ISBN 0-07-035048-5.
- ^ a b Basavaraju, G; Ghosh, Dipin (1 de febrero de 1985). Mecánica y Termodinámica . Tata McGraw-Hill . págs. 162-165. ISBN 978-0-07-451537-2.
- ^ Plastino, Angel R .; Muzzio, Juan C. (1992). "Sobre el uso y abuso de la segunda ley de Newton para problemas de masa variable" . Mecánica celeste y astronomía dinámica . Países Bajos: Kluwer Academic Publishers. 53 (3): 227–232. Código bibliográfico : 1992CeMDA..53..227P . doi : 10.1007 / BF00052611 . ISSN 0923-2958 . Consultado el 30 de diciembre de 2011 .
- ^ Benson, Tom. "Ecuación del cohete ideal" . NASA . Consultado el 30 de diciembre de 2011 .
- ^ Cveticanin, L (21 de octubre de 1998). Dinámica de máquinas con masa variable (1 ed.). Prensa CRC . págs. 15-20. ISBN 978-90-5699-096-1.
- ^ Giancoli, Douglas C. (2008). Física para científicos e ingenieros . 2 (4, ed. Ilustrado). Educación Pearson. págs. 236-238. ISBN 978-0-13-227359-6.