En matemáticas, la propiedad de disminución de variación de ciertos objetos matemáticos implica disminuir el número de cambios de signo (positivo a negativo o viceversa).
Propiedad de disminución de variación para curvas de Bézier
La propiedad de disminución de variación de las curvas de Bézier es que son más suaves que el polígono formado por sus puntos de control. Si se dibuja una línea a través de la curva, el número de intersecciones con la curva será menor o igual que el número de intersecciones con el polígono de control. En otras palabras, para una curva de Bézier B definido por el control polígono P , la curva tendrá no más intersección con cualquier plano que el plano tiene con P . Esto puede generalizarse en dimensiones superiores. [1]
Esta propiedad fue estudiada por primera vez por Isaac Jacob Schoenberg en su artículo de 1930, Über variacionesvermindernde lineare Transformationen . Pasó a derivarlo mediante una transformación de la regla de los signos de Descartes . [2]
Prueba
La prueba utiliza el proceso de elevación de grado repetido de la curva de Bézier . El proceso de elevación de grados para las curvas de Bézier puede considerarse un ejemplo de interpolación lineal por partes . Se puede demostrar que la interpolación lineal por partes disminuye la variación. [3] Por lo tanto, si R 1 , R 2 , R 3 y así sucesivamente denotan el conjunto de polígonos obtenidos por el grado de elevación del polígono de control inicial R , entonces se puede demostrar que
- Cada R r tiene menos intersecciones con un plano dado que R r-1 (dado que el grado de elevación es una forma de interpolación lineal que se puede demostrar que sigue la propiedad de disminución de la variación)
Usando los puntos anteriores, decimos que dado que la curva de Bézier B es el límite de estos polígonos cuando r va a, Tendrá un menor número de intersecciones con un plano dado que R i para todos los i , y en particular un menor número de intersecciones que el original de control polígono R . Este es el enunciado de la propiedad de disminución de la variación.
Matrices totalmente positivas
La propiedad de disminución de la variación de las matrices totalmente positivas es una consecuencia de su descomposición en productos de matrices de Jacobi .
La existencia de la descomposición se deriva del algoritmo de triangulación de Gauss-Jordan . De ello se deduce que solo necesitamos demostrar la propiedad VD para una matriz de Jacobi.
Los bloques de mapas de Dirichlet-a-Neumann de gráficos planos tienen la propiedad de disminución de variación.
Referencias
- ^ Rida T. Farouki (2007), "Propiedad de disminución de variación", Curvas pitagóricas-hodógrafa: Álgebra y geometría inseparables , Springer, p. 298, ISBN 9783540733973
- ^ TNT Goodman (1999), "Propiedades de forma de bases totalmente positivas normalizadas", Representaciones que conservan la forma en el diseño geométrico asistido por computadora , p. 62, ISBN 9781560726913
- ^ Farin, Gerald (1997). Curvas y superficies para diseño geométrico asistido por computadora (4 ed.). Libros de ciencia y tecnología de Elsevier . ISBN 978-0-12-249054-5.