En matemáticas , una matriz totalmente positiva es una matriz cuadrada en la que todos los menores son positivos: es decir, el determinante de cada submatriz cuadrada es un número positivo. [1] Una matriz totalmente positiva tiene todas las entradas positivas, por lo que también es una matriz positiva ; y tiene todos los principales menores positivos (y autovalores positivos ). A simétrica matriz totalmente positiva es por lo tanto también definida positiva . Una matriz totalmente no negativase define de manera similar, excepto que todos los menores deben ser no negativos (positivos o cero). Algunos autores usan "totalmente positivo" para incluir todas las matrices totalmente no negativas.
Definición
Dejar ser una matriz n × n . Considere cualquiery cualquier submatriz p × p de la forma dónde:
Entonces A es una matriz totalmente positiva si: [2]
para todas las submatrices que se puede formar de esta manera.
Historia
Los temas que históricamente llevaron al desarrollo de la teoría de la positividad total incluyen el estudio de: [2]
- las propiedades espectrales de núcleos y matrices que son totalmente positivas,
- ecuaciones diferenciales ordinarias cuya función de Green es totalmente positiva (por MG Kerin y algunos colegas a mediados de la década de 1930),
- las propiedades de disminución de la variación (iniciada por IJ Schoenberg en 1930),
- Funciones de frecuencia de Pólya (por IJ Schoenberg a fines de la década de 1940 y principios de la de 1950).
Ejemplos de
Por ejemplo, una matriz de Vandermonde cuyos nodos son positivos y crecientes es una matriz totalmente positiva.
Ver también
Referencias
- ^ George M. Phillips (2003), "Positividad total", Interpolación y aproximación por polinomios , Springer, p. 274, ISBN 9780387002156
- ^ a b Propiedades espectrales de núcleos y matrices totalmente positivos, Allan Pinkus
Otras lecturas
- Allan Pinkus (2009), Matrices totalmente positivas , Cambridge University Press , ISBN 9780521194082
enlaces externos
- Propiedades espectrales de núcleos y matrices totalmente positivos, Allan Pinkus
- Parametrizaciones de bases canónicas y matrices totalmente positivas, Arkady Berenstein
- Multiplicidades de producto tensorial, bases canónicas y variedades totalmente positivas (2001), A. Berenstein, A. Zelevinsky