Un operador de Jacobi , también conocido como matriz de Jacobi , es un operador lineal simétrico que actúa sobre secuencias dadas por una matriz tridiagonal infinita . Se usa comúnmente para especificar sistemas de polinomios ortonormales sobre una medida de Borel positiva y finita . Este operador lleva el nombre de Carl Gustav Jacob Jacobi .
El nombre deriva de un teorema de Jacobi, que data de 1848, que establece que toda matriz simétrica sobre un dominio ideal principal es congruente con una matriz tridiagonal.
Operadores Jacobi autoadjuntos
El caso más importante es el de los operadores de Jacobi autoadjuntos que actúan sobre el espacio de Hilbert de secuencias cuadradas sumables sobre los enteros positivos. . En este caso viene dado por
donde se supone que los coeficientes satisfacen
El operador estará acotado si y solo si los coeficientes están acotados.
Existen estrechas conexiones con la teoría de los polinomios ortogonales . De hecho, la soluciónde la relación de recurrencia
es un polinomio de grado ny estos polinomios son ortonormales con respecto a la medida espectral correspondiente al primer vector base.
Esta relación de recurrencia también se escribe comúnmente como
Aplicaciones
Surge en muchas áreas de las matemáticas y la física. El caso a ( n ) = 1 se conoce como el operador discreto unidimensional de Schrödinger . También surge en:
- El par Laxo de la celosía Toda .
- Relación de recurrencia de tres términos de polinomios ortogonales, ortogonales sobre una medida de Borel positiva y finita .
- Algoritmos ideados para calcular reglas de cuadratura gaussianas , derivadas de sistemas de polinomios ortogonales. [1]
Generalizaciones
Cuando se considera el espacio de Bergman , es decir, el espacio de funciones holomórficas integrables en cuadrado sobre algún dominio, entonces, en circunstancias generales, se puede dar a ese espacio una base de polinomios ortogonales, los polinomios de Bergman . En este caso, el análogo del operador tridiagonal de Jacobi es un operador de Hessenberg , una matriz de Hessenberg de dimensión infinita . El sistema de polinomios ortogonales está dado por
y . Aquí, D es el operador de Hessenberg que generaliza el operador tridiagonal Jacobi J para esta situación. [2] [3] [4] Tenga en cuenta que D es el operador de desplazamiento a la derecha en el espacio de Bergman: es decir, está dado por
Los ceros del polinomio de Bergman corresponden a los valores propios del principiosubmatriz de D . Es decir, los polinomios de Bergman son los polinomios característicos de las submatrices principales del operador de desplazamiento.
Referencias
- ^ Meurant, Gérard; Sommariva, Alvise (2014). "Variantes rápidas del algoritmo de Golub y Welsch para funciones de peso simétricas en Matlab" (PDF) . Algoritmos numéricos . 67 (3): 491–506. doi : 10.1007 / s11075-013-9804-x . S2CID 7385259 .
- ^ Tomeo, V .; Torrano, E. (2011). "Dos aplicaciones de la subnormalidad de la matriz de Hessenberg relacionadas con polinomios ortogonales generales" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 435 (9): 2314–2320. doi : 10.1016 / j.laa.2011.04.027 .
- ^ Saff, Edward B .; Stylianopoulos, Nikos (2012). "Asintóticas para matrices de Hessenberg para el operador de turno de Bergman en las regiones de Jordania". arXiv : 1205.4183 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Escribano, Carmen; Giraldo, Antonio; Asunción Sastre, M .; Torrano, Emilio (2011). "La matriz de Hessenberg y el mapeo de Riemann". arXiv : 1107.6036 . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )
- Teschl, Gerald (2000), Operadores Jacobi y celosías no lineales completamente integrables , Providence: Amer. Matemáticas. Soc., ISBN 0-8218-1940-2
enlaces externos
- "Matriz de Jacobi" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]