En estadística espacial el variograma teórico es una función que describe el grado de dependencia espacial de un campo espacial aleatorio o proceso estocástico . El semivariograma es la mitad del variograma.
En el caso de un ejemplo concreto del campo de la minería de oro , un variograma dará una medida de cuánto variarán dos muestras tomadas del área minera en porcentaje de oro dependiendo de la distancia entre esas muestras. Las muestras tomadas muy separadas variarán más que las muestras tomadas cerca unas de otras.
Definición
El semivariograma fue definido por primera vez por Matheron (1963) como la mitad de la diferencia cuadrática promedio entre los valores en los puntos ( y ) separados a distancia . [1] [2] Formalmente
dónde es un punto en el campo geométrico , y es el valor en ese punto. La integral triple tiene más de 3 dimensiones.es la distancia de separación (por ejemplo, en metros o km) de interés. Por ejemplo, el valor podría representar el contenido de hierro en el suelo, en algún lugar (con coordenadas geográficas de latitud, longitud y elevación) sobre alguna región con elemento de volumen . Para obtener el semivariograma para un determinado, se muestrearán todos los pares de puntos a esa distancia exacta. En la práctica, es imposible muestrear en todas partes, por lo que en su lugar se utiliza el variograma empírico .
El variograma es el doble del semivariograma y se puede definir, de manera equivalente, como la varianza de la diferencia entre los valores de campo en dos ubicaciones ( y , observe el cambio de notación de a y a ) a través de realizaciones del campo (Cressie 1993):
Si el campo aleatorio espacial tiene media constante , esto es equivalente a la expectativa del incremento al cuadrado de los valores entre ubicaciones y (Wackernagel 2003) (donde y son puntos en el espacio y posiblemente en el tiempo):
En el caso de un proceso estacionario , el variograma y el semivariograma se pueden representar como una función de la diferencia solo entre ubicaciones, por la siguiente relación (Cressie 1993):
Si el proceso es además isotrópico , entonces el variograma y el semivariograma se pueden representar mediante una función de la distancia solo (Cressie 1993):
Los índices o normalmente no están escritos. Los términos se utilizan para las tres formas de la función. Además, el término "variograma" se utiliza a veces para denotar el semivariograma, y el símboloa veces se utiliza para el variograma, lo que genera cierta confusión. [3]
Propiedades
Según (Cressie 1993, Chiles y Delfiner 1999, Wackernagel 2003) el variograma teórico tiene las siguientes propiedades:
- El semivariograma no es negativo , ya que es la expectativa de un cuadrado.
- El semivariograma a la distancia 0 es siempre 0, ya que .
- Una función es un semivariograma si y solo si es una función definida condicionalmente negativa, es decir, para todos los pesos sujeto a y ubicaciones se mantiene:
- que corresponde al hecho de que la varianza de viene dado por el negativo de esta doble suma y debe ser no negativo. [ disputado ]
- Si existe la función de covarianza de un proceso estacionario, se relaciona con el variograma por
- Si un campo aleatorio estacionario no tiene dependencia espacial (es decir, Si ), el semivariograma es la constante en todas partes excepto en el origen, donde es cero.
- es una función simétrica.
- Como consecuencia, es una función par .
- Si el campo aleatorio es estacionario y ergódico , elcorresponde a la varianza del campo. El límite del semivariograma también se denomina umbral .
- Como consecuencia, el semivariograma podría no ser continuo solo en el origen. La altura del salto en el origen a veces se denomina efecto pepita o pepita.
Parámetros
En resumen, los siguientes parámetros se utilizan a menudo para describir los variogramas:
- pepita : La altura del salto del semivariograma en la discontinuidad en el origen.
- umbral : Límite del variograma que tiende a distancias de retardo infinitas.
- distancia : La distancia en la que la diferencia entre el variograma y el umbral se vuelve insignificante. En los modelos con umbral fijo, es la distancia a la que se alcanza por primera vez; para los modelos con un umbral asintótico, convencionalmente se toma como la distancia cuando la semivarianza alcanza por primera vez el 95% del umbral.
Variograma empírico
El variograma empírico se utiliza en geoestadística como una primera estimación del modelo de variograma necesario para la interpolación espacial por kriging . Según (Cressie 1993), para las observacionesde un campo aleatorio estacionario , el variograma empírico con tolerancia de retardo 0 es un estimador insesgado del semivariograma teórico, debido a:
El semivariograma empírico (la mitad del variograma empírico) evaluado a una distancia determinada se llama semivarianza ; a la inversa, la gráfica de semivarianzas frente a distancias se conoce como semivariograma.
Generalmente, se necesita un variograma empírico, porque la información de la muestra no está disponible para todas las ubicaciones. La información de la muestra, por ejemplo, podría ser la concentración de hierro en muestras de suelo o la intensidad de píxeles en una cámara. Cada pieza de información de muestra tiene coordenadas para un espacio muestral 2D donde y son coordenadas geográficas. En el caso del hierro en el suelo, el espacio muestral podría ser tridimensional. Si también hay variabilidad temporal (p. Ej., Contenido de fósforo en un lago) entonces podría ser un vector de 4 dimensiones . En el caso de que las dimensiones tengan diferentes unidades (p. Ej., Distancia y tiempo), entonces un factor de escalase puede aplicar a cada uno para obtener una distancia euclidiana modificada. [4]
Las observaciones de muestra se indican . Las muestras se pueden tomar entotal diferentes ubicaciones. Esto proporcionaría un conjunto de muestras en ubicaciones . Generalmente, las gráficas muestran los valores del semivariograma como una función de la separación de los puntos de muestra.. En el caso del semivariograma empírico, bins de distancia de separación se utilizan en lugar de distancias exactas, y por lo general se asumen condiciones isotrópicas (es decir, que es solo una función de y no depende de otras variables como la posición central). Entonces, el semivariograma empírico se puede calcular para cada contenedor:
O en otras palabras, cada par de puntos separados por (más o menos algún rango de tolerancia del ancho del contenedor ) se encuentran. Estos forman el conjunto de puntos. El número de estos puntos en este contenedor es. Luego, por cada par de puntos, se encuentra el cuadrado de la diferencia en la observación (p. ej., contenido de muestra de suelo o intensidad de píxeles) (). Estas diferencias cuadradas se suman y se normalizan por el número natural.. Por definición, el resultado se divide por 2 para el semivariograma en esta separación.
Para la velocidad computacional, solo se necesitan los pares únicos de puntos. Por ejemplo, para 2 pares de observaciones [] tomado de ubicaciones con separación solo [] deben tenerse en cuenta, ya que los pares [] no proporcionan ninguna información adicional.
Modelos de variograma
El variograma empírico no se puede calcular en cada distancia de retraso y debido a la variación en la estimación, no se garantiza que sea un variograma válido, como se definió anteriormente. Sin embargo, algunos métodos geoestadísticos como kriging necesitan semivariogramas válidos. En geoestadística aplicada, los variogramas empíricos a menudo se aproximan mediante la función del modelo que garantiza la validez (Chiles y Delfiner 1999). Algunos modelos importantes son (Chiles & Delfiner 1999, Cressie 1993):
- El modelo de variograma exponencial
- El modelo de variograma esférico
- El modelo de variograma gaussiano
El parámetro tiene diferentes valores en diferentes referencias, debido a la ambigüedad en la definición del rango. P.ejes el valor utilizado en (Chiles & Delfiner 1999). La la función es 1 si y 0 en caso contrario.
Discusión
En geoestadística se utilizan tres funciones para describir la correlación espacial o temporal de las observaciones: estas son el correlograma , la covarianza y el semivariograma . El último también se llama más simplemente variograma . El variograma muestral , a diferencia del semivariograma y el variograma, muestra dónde un grado significativo de dependencia espacial en el espacio muestral o unidad muestral se disipa en aleatoriedad cuando los términos de varianza de un conjunto ordenado temporal o in situ se grafican contra la varianza del conjunto. y los límites inferiores de sus rangos de confianza del 99% y 95%.
El variograma es la función clave en geoestadística, ya que se utilizará para ajustar un modelo de correlación temporal / espacial del fenómeno observado. Por tanto, se hace una distinción entre el variograma experimental que es una visualización de una posible correlación espacial / temporal y el modelo de variograma que se utiliza además para definir los pesos de la función kriging . Tenga en cuenta que el variograma experimental es una estimación empírica de la covarianza de un proceso gaussiano . Como tal, puede no ser positivo definido y, por lo tanto, no se puede usar directamente en kriging , sin restricciones o procesamiento adicional. Esto explica por qué solo se utiliza un número limitado de modelos de variogramas: más comúnmente, los modelos lineal, esférico, gaussiano y exponencial.
Aplicaciones
- Se utilizaron variogramas empíricos para la variabilidad espacio-temporal del dióxido de carbono promediado en columna para determinar los criterios de coincidencia para las mediciones satelitales y terrestres. [4]
- Se calcularon variogramas empíricos para la densidad de un material heterogéneo (Gilsocarbon). [5]
- Los variogramas empíricos se calculan a partir de observaciones de fuertes movimientos del suelo a partir de terremotos . [6] Estos modelos se utilizan para evaluar el riesgo sísmico y las pérdidas de la infraestructura distribuida espacialmente. [7]
Conceptos relacionados
El término al cuadrado en el variograma, por ejemplo , se puede reemplazar con diferentes potencias: Un madograma se define con la diferencia absoluta ,, y un rodograma se define con la raíz cuadrada de la diferencia absoluta,. Se dice que los estimadores basados en estos poderes más bajos son más resistentes a los valores atípicos . Se pueden generalizar como un "variograma de orden α ",
- ,
en el que un variograma es de orden 2, un madograma es un variograma de orden 1 y un rodograma es un variograma de orden 0,5. [8]
Cuando se utiliza un variograma para describir la correlación de diferentes variables, se denomina variograma cruzado . Los variogramas cruzados se utilizan en co-kriging . Si la variable es binaria o representa clases de valores, entonces se habla de variogramas indicadores . El variograma indicador se utiliza en kriging indicador .
Referencias
- ^ Matheron, Georges (1963). "Principios de geoestadística". Geología económica . 58 (8): 1246-1266. doi : 10.2113 / gsecongeo.58.8.1246 . ISSN 1554-0774 .
- ^ Ford, David. "El variograma empírico" (PDF) . faculty.washington.edu/edford . Consultado el 31 de octubre de 2017 .
- ^ Bachmaier, Martin; Backes, Matthias (24 de febrero de 2008). "¿Variograma o semivariograma? Entender las variaciones en un variograma". Agricultura de Precisión . Springer Science and Business Media LLC. 9 (3): 173-175. doi : 10.1007 / s11119-008-9056-2 . ISSN 1385-2256 .
- ^ a b Nguyen, H .; Osterman, G .; Wunch, D .; O'Dell, C .; Mandrake, L .; Wennberg, P .; Fisher, B .; Castaño, R. (2014). "Un método para colocar datos de satélite X CO 2 a datos terrestres y su aplicación a ACOS-GOSAT y TCCON" . Técnicas de medición atmosférica . 7 (8): 2631–2644. Código bibliográfico : 2014AMT ..... 7.2631N . doi : 10.5194 / amt-7-2631-2014 . ISSN 1867-8548 .
- ^ Arregui Mena, JD; et al. (2018). "Caracterización de la variabilidad espacial de las propiedades de los materiales de Gilsocarbon y NBG-18 mediante campos aleatorios" . Revista de materiales nucleares . 511 : 91-108. Código bibliográfico : 2018JNuM..511 ... 91A . doi : 10.1016 / j.jnucmat.2018.09.008 .
- ^ Schiappapietra, Erika; Douglas, John (abril de 2020). "Modelado de la correlación espacial del movimiento del suelo del terremoto: conocimientos de la literatura, datos de la secuencia del terremoto de Italia central de 2016-2017 y simulaciones de movimiento del suelo" . Reseñas de Ciencias de la Tierra . 203 : 103139. Bibcode : 2020ESRv..20303139S . doi : 10.1016 / j.earscirev.2020.103139 .
- ^ Sokolov, Vladimir; Wenzel, Friedemann (25 de julio de 2011). "Influencia de la correlación espacial del fuerte movimiento del suelo sobre la incertidumbre en la estimación de pérdidas por terremoto". Ingeniería sísmica y dinámica estructural . 40 (9): 993–1009. doi : 10.1002 / eqe.1074 .
- ^ Olea, Ricardo A. (1991). Glosario geoestadístico y diccionario multilingüe . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 47, 67, 81. ISBN 9780195066890.
Otras lecturas
- Cressie, N., 1993, Estadísticas para datos espaciales, Wiley Interscience
- Chiles, JP, P. Delfiner, 1999, Geoestadística, Modelado de incertidumbre espacial, Wiley-Interscience
- Wackernagel, H., 2003, Geoestadística multivariante, Springer
- Burrough, PA y McDonnell, RA, 1998, Principios de los sistemas de información geográfica
- Isobel Clark, 1979, Practical Geostatistics, Applied Science Publishers
- Clark, I, 1979, Practical Geostatistics , Applied Science Publishers
- David, M, 1978, Estimación geoestadística de reservas minerales , Elsevier Publishing
- Hald, A, 1952, Teoría estadística con aplicaciones de ingeniería , John Wiley & Sons, Nueva York
- Journel, AG y Huijbregts, Ch J, 1978 Geoestadística minera , Academic Press
enlaces externos
- AI-GEOSTATS: un recurso educativo sobre geoestadística y estadísticas espaciales
- Geoestadística: Conferencia de Rudolf Dutter en la Universidad Técnica de Viena