En matemáticas , la ergodicidad expresa la idea de que un punto de un sistema en movimiento, ya sea un sistema dinámico o un proceso estocástico , eventualmente visitará todas las partes del espacio en el que se mueve el sistema, en un sentido uniforme y aleatorio. Esto implica que el comportamiento promedio del sistema se puede deducir de la trayectoria de un punto "típico". De manera equivalente, una colección suficientemente grande de muestras aleatorias de un proceso puede representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso. La ergodicidad es una propiedad del sistema; es una declaración de que el sistema no se puede reducir o factorizar en componentes más pequeños. La teoría ergódica es el estudio de sistemas que poseen ergodicidad.
Los sistemas ergódicos ocurren en una amplia gama de sistemas en física y geometría . Esto puede entenderse a grandes rasgos como debido a un fenómeno común: el movimiento de las partículas, es decir, las geodésicas en una variedad hiperbólica son divergentes; cuando esa variedad es compacta , es decir, de tamaño finito, esas órbitas regresan a la misma área general y eventualmente llenan todo el espacio .
Los sistemas ergódicos capturan las nociones cotidianas de sentido común de aleatoriedad, de modo que el humo puede llegar a llenar toda una habitación llena de humo, o que un bloque de metal eventualmente puede llegar a tener la misma temperatura en todas partes, o que cambia de lugar. una moneda justa puede salir cara y cruz la mitad del tiempo. Un concepto más fuerte que la ergodicidad es el de mezclar , cuyo objetivo es describir matemáticamente las nociones de sentido común de mezclar, como mezclar bebidas o mezclar ingredientes para cocinar.
La formulación matemática adecuada de la ergodicidad se basa en las definiciones formales de la teoría de la medida y los sistemas dinámicos , y más específicamente en la noción de un sistema dinámico que preserva la medida . Los orígenes de la ergodicidad se encuentran en la física estadística , donde Ludwig Boltzmann formuló la hipótesis ergódica .
Explicación informal
La ergodicidad se produce en entornos amplios de la física y las matemáticas . Todas estas configuraciones están unificadas por una descripción matemática común, la del sistema dinámico que preserva la medida . Una descripción informal de esto, y una definición de ergodicidad con respecto a ella, se da inmediatamente a continuación. A esto le sigue una descripción de la ergodicidad en los procesos estocásticos . Son lo mismo, a pesar de usar notación y lenguaje dramáticamente diferentes. A continuación se presenta una revisión de la ergodicidad en física y geometría . En todos los casos, la noción de ergodicidad es exactamente la misma que para los sistemas dinámicos; no hay diferencia , excepto en la perspectiva, la notación, el estilo de pensamiento y las revistas donde se publican los resultados.
Sistemas dinámicos que preservan las medidas
La definición matemática de ergodicidad tiene como objetivo capturar las ideas cotidianas sobre la aleatoriedad . Esto incluye ideas sobre sistemas que se mueven de tal manera que (eventualmente) llenen todo el espacio, como la difusión y el movimiento browniano , así como nociones de sentido común de mezcla, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes de cocina, productos industriales. proceso de mezcla , humo en una habitación llena de humo, polvo en los anillos de Saturno, etc. Para proporcionar una base matemática sólida, las descripciones de los sistemas ergódicos comienzan con la definición de un sistema dinámico que preserva la medida . Esto está escrito como
El conjunto se entiende el espacio total a llenar: el vaso, la sala de humo, etc. La medida se entiende que define el volumen natural del espacioy de sus subespacios. La colección de subespacios se denota pory el tamaño de cualquier subconjunto dado es ; el tamaño es su volumen. Ingenuamente, uno podría imaginarpara ser el conjunto de poder de; esto no funciona del todo, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (famosa, la paradoja de Banach-Tarski ). Así, convencionalmente,consta de los subconjuntos medibles, los subconjuntos que tienen un volumen. Siempre se considera un conjunto de Borel , la colección de subconjuntos que se pueden construir tomando intersecciones , uniones y complementos del conjunto ; estos siempre pueden considerarse medibles.
La evolución temporal del sistema se describe mediante un mapa. . Dado algún subconjunto, su mapa será en general una versión deformada de - se aplasta o se estira, se dobla o se corta en pedazos. Los ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de la herradura , ambos inspirados en la panificación . El conjunto debe tener el mismo volumen que ; el aplastamiento / estiramiento no altera el volumen del espacio, solo su distribución. Tal sistema es "preservar la medida" (preservar el área, preservar el volumen).
Surge una dificultad formal cuando se intenta conciliar el volumen de los conjuntos con la necesidad de preservar su tamaño bajo un mapa. El problema surge porque, en general, varios puntos diferentes en el dominio de una función pueden mapear al mismo punto en su rango; es decir, puede haber con . Peor, un solo puntono tiene tamaño. Estas dificultades se pueden evitar trabajando con el mapa inverso.; mapeará cualquier subconjunto dado a las partes que fueron ensambladas para hacerlo: estas partes son . Tiene la importante propiedad de no perder de vista el origen de las cosas. Más fuertemente, tiene la propiedad importante de que cualquier mapa (preservador de medidas) es el inverso de algún mapa . La definición adecuada de un mapa que preserva el volumen es aquella para la cual porque describe todas las piezas-partes que vino de.
Ahora uno está interesado en estudiar la evolución temporal del sistema. Si un conjunto eventualmente llega a llenar todo durante un largo período de tiempo (es decir, si se acerca a todos para grande ), se dice que el sistema es ergódico . Si cada setse comporta de esta manera, el sistema es un sistema conservador , colocado en contraste con un sistema disipativo , donde algunos subconjuntos deambular , para no volver nunca más. Un ejemplo sería el agua que corre cuesta abajo: una vez que se agota, nunca volverá a subir. Sin embargo, el lago que se forma en el fondo de este río puede mezclarse bien. El teorema de la descomposición ergódica establece que todo sistema ergódico se puede dividir en dos partes: la parte conservadora y la parte disipativa.
La mezcla es una declaración más fuerte que la ergodicidad. La mezcla pide que esta propiedad ergódica se mantenga entre dos conjuntos cualesquiera, y no solo entre algunos conjuntos y . Es decir, dados dos conjuntos, se dice que un sistema se mezcla (topológicamente) si hay un número entero tal que, para todos y , uno tiene eso . Aquí,denota la intersección del conjunto yes el conjunto vacío . Otras nociones de mezcla incluyen mezcla fuerte y mezcla débil, que describen la noción de que las sustancias mezcladas se entremezclan en todas partes, en igual proporción. Esto puede no ser trivial, como lo demuestra la experiencia práctica de tratar de mezclar sustancias pegajosas y pegajosas.
Procesos ergódicos
La discusión anterior apela a un sentido físico de volumen. El volumen no tiene que ser literalmente una parte del espacio 3D ; puede ser un volumen abstracto. Este es generalmente el caso de los sistemas estadísticos, donde el volumen (la medida) viene dado por la probabilidad. El volumen total corresponde a la probabilidad uno. Esta correspondencia funciona porque los axiomas de la teoría de la probabilidad son idénticos a los de la teoría de la medida ; estos son los axiomas de Kolmogorov .
La idea de un volumen puede ser muy abstracta. Considere, por ejemplo, el conjunto de todos los posibles lanzamientos de monedas: el conjunto de secuencias infinitas de caras y cruces. Al asignar el volumen de 1 a este espacio, está claro que la mitad de todas estas secuencias comienzan con cara y la otra mitad con cruz. Se puede dividir este volumen de otras formas: se puede decir "No me importa la primeralanzamientos de monedas; pero yo quiero elque de ellos sean cabezas, y luego no me importa lo que venga después de eso ". Esto se puede escribir como el conjunto dónde es "no me importa" y es "cabezas". El volumen de este espacio es de nuevo (¡obviamente!) La mitad.
Lo anterior es suficiente para construir un sistema dinámico que preserve la medida, en su totalidad. Los conjuntos de o ocurriendo en el 'th lugar se llaman conjuntos de cilindros . El conjunto de todas las posibles intersecciones, uniones y complementos de los conjuntos de cilindros forman entonces el conjunto de Borel definido anteriormente. En términos formales, los conjuntos de cilindros forman la base de una topología en el espacio. de todos los posibles lanzamientos de monedas de longitud infinita. La medida tiene todas las propiedades de sentido común que uno podría esperar: la medida de un juego de cilindros con en el 'th posición, y en el La posición es obviamente 1/4, y así sucesivamente. Estas propiedades de sentido común persisten para conjunto-complemento y conjunto-unión: todo excepto para y en ubicaciones y obviamente tiene el volumen de 3/4. Todos juntos, estos forman los axiomas de una medida sigma-aditiva ; Los sistemas dinámicos que preservan la medida siempre utilizan medidas sigma-aditivas. Para los lanzamientos de monedas, esta medida se llama medida de Bernoulli .
Para el proceso de lanzamiento de moneda, el operador de evolución temporal es el operador de turno que dice "tira la primera moneda y quédate con el resto". Formalmente, si es una secuencia de lanzamientos de monedas, luego . La medida es obviamente invariante de desplazamiento: siempre que estemos hablando de algún conjunto donde el primer lanzamiento de moneda es el valor "no me importa", luego el volumen no cambia: . Para evitar hablar del primer lanzamiento de moneda, es más fácil definir como insertar un valor "no me importa" en la primera posición: . Con esta definición, uno obviamente tiene que sin restricciones en . Este es nuevamente un ejemplo de por qué se utiliza en las definiciones formales.
El desarrollo anterior toma un proceso aleatorio, el proceso de Bernoulli, y lo convierte en un sistema dinámico que preserva la medida. La misma conversión (equivalencia, isomorfismo) se puede aplicar a cualquier proceso estocástico . Así, una definición informal de ergodicidad es que una secuencia es ergódica si visita todos los; tales secuencias son "típicas" del proceso. Otra es que sus propiedades estadísticas se pueden deducir de una sola muestra aleatoria suficientemente larga del proceso (por lo tanto, muestrear uniformemente todos los), o que cualquier colección de muestras aleatorias de un proceso debe representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso (es decir, muestras extraídas uniformemente de son representativos de en su conjunto.) En el presente ejemplo, una secuencia de lanzamientos de moneda, donde la mitad son cara y la mitad son cruz, es una secuencia "típica".
Hay varios puntos importantes sobre el proceso de Bernoulli. Si se escribe 0 para cruz y 1 para cara, se obtiene el conjunto de todas las cadenas infinitas de dígitos binarios. Estos corresponden a la expansión en base dos de los números reales . Explícitamente, dada una secuencia, el número real correspondiente es
La afirmación de que el proceso de Bernoulli es ergódico es equivalente a la afirmación de que los números reales están distribuidos uniformemente. El conjunto de todas estas cadenas se puede escribir de varias formas:Este conjunto es el conjunto de Cantor , a veces llamado espacio de Cantor para evitar confusiones con la función de Cantor.
Al final, todos son "lo mismo".
El conjunto de Cantor juega un papel clave en muchas ramas de las matemáticas. En matemáticas recreativas, sustenta los fractales que duplican el período ; en el análisis , aparece en una amplia variedad de teoremas. Una clave para los procesos estocásticos es la descomposición de Wold , que establece que cualquier proceso estacionario puede descomponerse en un par de procesos no correlacionados, uno determinista y el otro un proceso de promedio móvil .
El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que todo proceso estocástico estacionario es equivalente a un esquema de Bernoulli (un proceso de Bernoulli con un dado de juego de N lados (y posiblemente injusto) ). Otros resultados incluyen que cada sistema ergódico no disipativo es equivalente al odómetro de Markov , a veces llamado una "máquina de sumar" porque parece una suma de escuela primaria, es decir, tomar una secuencia de base N dígitos, sumar uno y propagar el llevar bits. La prueba de equivalencia es muy abstracta; comprender el resultado no es: al agregar uno en cada paso de tiempo, se visitan todos los estados posibles del odómetro, hasta que se da la vuelta y comienza de nuevo. Asimismo, los sistemas ergódicos visitan cada estado, de manera uniforme, pasando al siguiente, hasta que todos han sido visitados.
Los sistemas que generan secuencias (infinitas) de N letras se estudian mediante dinámica simbólica . Los casos especiales importantes incluyen subdesplazamientos de tipo finito y sistemas soficos .
Ergodicidad en física
Los sistemas físicos se pueden dividir en tres categorías: mecánica clásica , que describe máquinas con un número finito de partes móviles, mecánica cuántica , que describe la estructura de los átomos, y mecánica estadística , que describe gases, líquidos, sólidos; esto incluye la física de la materia condensada . El caso de la mecánica clásica se discute en la siguiente sección, sobre ergodicidad en geometría. En cuanto a la mecánica cuántica, aunque existe una concepción del caos cuántico , no existe una definición clara de ergodocidad; lo que podría ser esto se debate acaloradamente. Esta sección revisa la ergodicidad en la mecánica estadística.
La definición abstracta anterior de un volumen se requiere como el escenario apropiado para las definiciones de ergodicidad en física . Considere un recipiente de líquido , gas , plasma u otra colección de átomos o partículas . Todas y cada una de las partículas tiene una posición 3D y una velocidad 3D, por lo que se describe con seis números: un punto en el espacio de seis dimensiones Si hay de estas partículas en el sistema, una descripción completa requiere números. Cualquier sistema es solo un punto en El sistema físico no es todo , por supuesto; si es una caja de ancho, alto y largo entonces un punto está en Las velocidades tampoco pueden ser infinitas: se escalan mediante alguna medida de probabilidad, por ejemplo, la medida de Boltzmann-Gibbs para un gas. Sin embargo, paracerca del número de Avogadro , este es obviamente un espacio muy grande. Este espacio se llama conjunto canónico .
Se dice que un sistema físico es ergódico si algún punto representativo del sistema llega finalmente a visitar todo el volumen del sistema. Para el ejemplo anterior, esto implica que cualquier átomo dado no solo visita cada parte de la cajacon probabilidad uniforme, pero lo hace con todas las velocidades posibles, con probabilidad dada por la distribución de Boltzmann para esa velocidad (entonces, uniforme con respecto a esa medida). La hipótesis ergódica establece que los sistemas físicos en realidad son ergódicos. Están en juego múltiples escalas de tiempo: los gases y líquidos parecen ser ergódicos en escalas de tiempo cortas. La ergodicidad en un sólido se puede ver en términos de modos vibracionales o fonones , ya que obviamente los átomos en un sólido no intercambian ubicaciones. Las gafas presentan un desafío a la hipótesis ergódica; Se supone que las escalas de tiempo son de millones de años, pero los resultados son controvertidos. Los vasos giratorios presentan dificultades especiales.
Las pruebas matemáticas formales de ergodicidad en física estadística son difíciles de conseguir; Se supone que la mayoría de los sistemas de muchos cuerpos de alta dimensión son ergódicos, sin prueba matemática. Las excepciones incluyen los billares dinámicos , que modelan colisiones de átomos de tipo bola de billar en un gas o plasma ideal . El primer teorema de la ergodicidad de la esfera dura fue para el billar del Sinaí , que considera dos bolas, una de ellas considerada estacionaria, en el origen. Cuando la segunda bola choca, se aleja; aplicando condiciones de contorno periódicas, vuelve a colisionar de nuevo. Apelando a la homogeneidad, este retorno de la "segunda" bola se puede considerar en cambio como "sólo otro átomo" que ha entrado en el rango y se está moviendo para chocar con el átomo en el origen (que puede tomarse como justo "cualquier otro átomo".) Esta es una de las pocas pruebas formales que existen; no hay enunciados equivalentes, por ejemplo, para átomos en un líquido, interactuando a través de las fuerzas de van der Waals , incluso si sería de sentido común creer que tales sistemas son ergódicos (y se mezclan). Sin embargo, se pueden hacer argumentos físicos más precisos.
Ergodicidad en geometría
La ergodicidad es un fenómeno muy extendido en el estudio de las variedades de Riemann . Una secuencia rápida de ejemplos, de simples a complicados, ilustra este punto. Se ha demostrado que todos los sistemas mencionados a continuación son ergódicos mediante rigurosas pruebas formales. La rotación irracional de un círculo es ergódica: la órbita de un punto es tal que eventualmente se visitan todos los demás puntos del círculo. Tales rotaciones son un caso especial del mapa de intercambio de intervalos . Las expansiones beta de un número son ergódicas: las expansiones beta de un número real no se realizan en base- N , sino en base- para algunos La versión reflejada de la expansión beta es el mapa de tiendas ; hay una variedad de otros mapas ergódicos del intervalo unitario. Moviéndose a dos dimensiones, los billares aritméticos con ángulos irracionales son ergódicos. También se puede tomar un rectángulo plano, aplastarlo, cortarlo y volver a montarlo; este es el mapa del panadero mencionado anteriormente . Sus puntos pueden describirse mediante el conjunto de cadenas bi-infinitas en dos letras, es decir, que se extienden tanto a la izquierda como a la derecha; como tal, parece dos copias del proceso de Bernoulli. Si uno se deforma de lado durante el aplastamiento, se obtiene el mapa del gato de Arnold . En la mayoría de los casos, el mapa del gato es un prototipo de cualquier otra transformación similar.
Para superficies no planas, se tiene que el flujo geodésico de cualquier superficie Riemann compacta curvada negativamente es ergódico. Una superficie es "compacta" en el sentido de que tiene un área superficial finita. El flujo geodésico es una generalización de la idea de moverse en "línea recta" sobre una superficie curva: tales líneas rectas son geodésicas . Uno de los primeros casos estudiados es el billar de Hadamard , que describe geodésicas en la superficie de Bolza , topológicamente equivalente a una rosquilla con dos agujeros. La ergodicidad se puede demostrar de manera informal, si se tiene un marcador y algún ejemplo razonable de una rosquilla de dos agujeros: comenzando en cualquier lugar, en cualquier dirección, se intenta dibujar una línea recta; las reglas son útiles para esto. No se necesita tanto tiempo para descubrir que uno no está regresando al punto de partida. (Por supuesto, el dibujo torcido también puede explicar esto; por eso tenemos pruebas).
Estos resultados se extienden a dimensiones superiores. El flujo geodésico para las variedades compactas de Riemann de curvatura negativa es ergódico. Un ejemplo clásico de esto es el flujo de Anosov , que es el flujo de un ciclo en un colector hiperbólico . Esto puede verse como una especie de fibración de Hopf . Tales flujos ocurren comúnmente en la mecánica clásica , que es el estudio de la física de la maquinaria en movimiento de dimensión finita, por ejemplo, el péndulo doble , etc. La mecánica clásica se basa en variedades simplécticas . Los flujos en tales sistemas se pueden deconstruir en múltiples estables e inestables ; como regla general, cuando esto es posible, se produce un movimiento caótico. Que esto es genérico se puede ver si se observa que el haz cotangente de una variedad de Riemann es (siempre) una variedad simpléctica; el flujo geodésico viene dado por una solución a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para esta variedad. En términos de las coordenadas canónicas en la variedad cotangente, el hamiltoniano o la energía está dada por
con el (inverso del) tensor métrico yel impulso . El parecido con la energía cinética. de una partícula puntual difícilmente es accidental; este es el objetivo de llamar a estas cosas "energía". En este sentido, el comportamiento caótico con órbitas ergódicas es un fenómeno más o menos genérico en grandes extensiones de geometría.
Se han proporcionado resultados de ergodicidad en superficies de traslación , grupos hiperbólicos y geometría sistólica . Las técnicas incluyen el estudio de los flujos ergódicos , la descomposición de Hopf y el teorema de Ambrose-Kakutani-Krengel-Kubo . Una clase importante de sistemas son los sistemas Axiom A.
Se han obtenido varios resultados de clasificación y "anticlasificación". El teorema del isomorfismo de Ornstein también se aplica aquí; nuevamente, establece que la mayoría de estos sistemas son isomorfos a algún esquema de Bernoulli . Esto vincula claramente estos sistemas con la definición de ergodicidad dada para un proceso estocástico, en la sección anterior. Los resultados de la anti-clasificación establecen que hay más de un número infinito numerable de sistemas dinámicos ergódicos que preservan las medidas y que no son equivalentes. Quizás esto no sea del todo una sorpresa, ya que se pueden usar puntos en el conjunto de Cantor para construir sistemas similares pero diferentes. Consulte Sistema dinámico de preservación de medidas para obtener una breve reseña de algunos de los resultados de anti-clasificación.
Desarrollo historico
La idea de ergodicidad nació en el campo de la termodinámica , donde era necesario relacionar los estados individuales de las moléculas de gas con la temperatura de un gas en su conjunto y su evolución temporal. Para hacer esto, fue necesario establecer qué significa exactamente que los gases se mezclen bien, de modo que el equilibrio termodinámico pueda definirse con rigor matemático . Una vez que la teoría estuvo bien desarrollada en física , se formalizó y amplió rápidamente, de modo que la teoría ergódica ha sido durante mucho tiempo un área independiente de las matemáticas en sí misma. Como parte de esa progresión, coexisten más de una definición ligeramente diferente de ergodicidad y multitud de interpretaciones del concepto en diferentes campos.
Por ejemplo, en física clásica el término implica que un sistema satisface la hipótesis ergódica de la termodinámica , [1] el espacio de estados relevante es el espacio de posición y momento . En la teoría de sistemas dinámicos, el espacio de estados generalmente se considera un espacio de fase más general . Por otro lado, en la teoría de la codificación, el espacio de estados suele ser discreto tanto en el tiempo como en el estado, con una estructura menos concomitante. En todos esos campos, las ideas de promedio de tiempo y promedio de conjunto también pueden llevar un equipaje adicional, como es el caso de las muchas funciones de partición termodinámicamente relevantes que se usan para definir promedios de conjunto en física, de nuevo. Como tal, la formalización teórica de la medida del concepto también sirve como una disciplina unificadora. En 1913 Michel Plancherel demostró la estricta imposibilidad de ergodicidad para un sistema puramente mecánico.
Etimología
Se piensa comúnmente que el término ergódico deriva de las palabras griegas ἔργον ( ergon : "trabajo") y ὁδός ( hodos : "camino", "camino"), elegidas por Ludwig Boltzmann mientras trabajaba en un problema de mecánica estadística . [2] Al mismo tiempo, también se afirma que es una derivación del ergomonodo , acuñado por Boltzmann en un artículo relativamente oscuro de 1884. La etimología parece ser cuestionada también de otras maneras. [3]
Definición de sistemas de tiempo discreto
Definicion formal
Dejar ser un espacio medible . Si es una función medible de a sí mismo y una medida de probabilidad en entonces decimos que es -ergódico o es una medida ergódica para Si conservas y se cumple la siguiente condición:
- Para cualquier tal que ya sea o .
En otras palabras, no hay -subconjuntos invariantes hasta medir 0 (con respecto a ). Recordar que conservación (o ser - invariante ) significa que para todos (ver también Sistema dinámico de preservación de medidas ).
Ejemplos de
El ejemplo más simple es cuando es un conjunto finito y la medida de conteo . Luego, un automapa de conservas si y solo si es una biyección, y es ergódica si y solo si tiene una sola órbita (es decir, para cada existe tal que ). Por ejemplo, sientonces el ciclo es ergódico, pero la permutación no es (tiene los dos subconjuntos invariantes y ).
Formulaciones equivalentes
La definición dada anteriormente admite las siguientes reformulaciones inmediatas:
- para cada con tenemos o (dónde denota la diferencia simétrica );
- para cada con medida positiva tenemos ;
- por cada dos juegos de medida positiva, existe tal que ;
- Cada función medible con es constante en un subconjunto de medida completa.
Es importante destacar que para las aplicaciones, la condición en la última caracterización se puede restringir solo a funciones integrables en cuadrados :
- Si y luego es constante en casi todas partes.
Más ejemplos
Turnos y sub-turnos de Bernoulli
Dejar ser un conjunto finito y con la medida del producto (cada factorestando dotado de su medida de contar). Entonces el operador de turno definido por es -ergódico. [4]
Hay muchas más medidas ergódicas para el mapa de turnos. en . Las secuencias periódicas dan medidas con apoyo finito. Más interesante aún, hay algunos con soporte infinito que son subdesplazamientos de tipo finito .
Rotaciones irracionales
Dejar ser el círculo unitario , con su medida de Lebesgue . Para cualquier la rotación de de ángulo es dado por . Si luego no es ergódico para la medida de Lebesgue ya que tiene infinitas órbitas finitas. Por otro lado, si es irracional entonces es ergódico. [5]
Mapa del gato de Arnold
Dejar sea el 2-toro. Entonces cualquier elemento define un automapa de desde . Cuándo se obtiene el llamado mapa del gato de Arnold, que es ergódico para la medida de Lebesgue en el toro.
Teoremas ergódicos
Si es una medida de probabilidad en un espacio que es ergódico para una transformación el teorema ergódico puntual de G. Birkhoff establece que para cada función medible y para -Casi todos los puntos el tiempo promedio en la órbita de converge a la media espacial de . Formalmente esto significa que
El teorema ergódico de la media de J. von Neumann es un enunciado similar y más débil acerca de las traducciones promediadas de funciones integrables al cuadrado.
Propiedades relacionadas
Órbitas densas
Una consecuencia inmediata de la definición de ergodicidad es que en un espacio topológico , y si es la σ-álgebra de los conjuntos de Borel , si es -ergódico entonces -Casi todas las órbitas de es denso en el apoyo de .
Esto no es una equivalencia ya que para una transformación que no es exclusivamente ergódica, pero para la que existe una medida ergódica con pleno apoyo , para cualquier otra medida ergódica la medida no es ergódico para pero sus órbitas son densas en el soporte. Se pueden construir ejemplos explícitos con medidas invariantes de desplazamiento. [6]
Mezclar
Una transformacion de un espacio de medida de probabilidad se dice que se mezcla para la medida si para cualquier conjunto medible lo siguiente sostiene:
Esta noción de mezcla a veces se denomina mezcla fuerte, a diferencia de mezcla débil, lo que significa que
Ergodicidad adecuada
La transformación Se dice que es propiamente ergódico si no tiene una órbita de medida completa. En el caso discreto, esto significa que la medida no es compatible con una órbita finita de .
Definición de sistemas dinámicos de tiempo continuo
La definición es esencialmente la misma para sistemas dinámicos de tiempo continuo que para una sola transformación. Dejar ser un espacio medible y para cada , entonces tal sistema lo da una familia de funciones medibles de a sí mismo, de modo que para cualquier la relación mantiene (por lo general también se pide que el mapa de órbita de también es medible). Si es una medida de probabilidad en entonces decimos que es -ergódico o es una medida ergódica para si cada uno conservas y se cumple la siguiente condición:
- Para cualquier , si por todos tenemos entonces tambien o .
Ejemplos de
Como en el caso discreto, el ejemplo más simple es el de una acción transitiva, por ejemplo, la acción en el círculo dada por es ergódico para la medida de Lebesgue.
Un ejemplo con infinitas órbitas lo da el flujo a lo largo de una pendiente irracional en el toro: sea y . Dejar; Entonces sí esto es ergódico para la medida de Lebesgue.
Flujos ergódicos
Otros ejemplos de flujos ergódicos son:
- Billar en dominios euclidianos convexos;
- el flujo geodésico de una variedad riemanniana curvada negativamente de volumen finito es ergódico (para la medida de volumen normalizada);
- el flujo del horociclo en una variedad hiperbólica de volumen finito es ergódico (para la medida de volumen normalizada)
Ergodicidad en espacios métricos compactos
Si es un espacio métrico compacto que está naturalmente dotado con el σ-álgebra de los conjuntos de Borel . La estructura adicional que proviene de la topología permite una teoría mucho más detallada para las transformaciones ergódicas y medidas en.
Interpretación del análisis funcional
Se puede dar una definición alternativa muy poderosa de medidas ergódicas utilizando la teoría de los espacios de Banach . Medidas de radón en forman un espacio de Banach del cual el conjunto de medidas de probabilidad en es un subconjunto convexo . Dada una transformación continua de el subconjunto de -medidas invariantes es un subconjunto convexo cerrado, y una medida es ergódica para si y solo si es un punto extremo de este convexo. [7]
Existencia de medidas ergódicas
En el escenario anterior se sigue del teorema de Banach-Alaoglu que siempre existen puntos extremos en. Por tanto, una transformación de un espacio métrico compacto siempre admite medidas ergódicas.
Descomposición ergódica
En general, una medida invariante no necesita ser ergódica, pero como consecuencia de la teoría de Choquet siempre puede expresarse como el baricentro de una medida de probabilidad en el conjunto de medidas ergódicas. Esto se conoce como la descomposición ergódica de la medida. [8]
Ejemplo
En el caso de y la medida de conteo no es ergódica. Las medidas ergódicas parason las medidas uniformes apoyado en los subconjuntos y y cada -La medida de probabilidad invariante se puede escribir en la forma para algunos . En particular es la descomposición ergódica del compás.
Sistemas continuos
Todo en esta sección se transfiere literalmente a acciones continuas de o en espacios métricos compactos.
Ergodicidad única
La transformación se dice que es exclusivamente ergódico si hay una medida de probabilidad de Borel única en que es ergódico para .
En los ejemplos considerados anteriormente, las rotaciones irracionales del círculo son exclusivamente ergódicas; [9] los mapas de turnos no lo son.
Interpretación probabilística: procesos ergódicos
Si es un proceso estocástico de tiempo discreto en un espacio , se dice que es ergódico si la distribución conjunta de las variables en es invariante bajo el mapa de cambios . Este es un caso particular de las nociones discutidas anteriormente.
El caso más simple es el de un proceso independiente e idénticamente distribuido que corresponde al mapa de cambios descrito anteriormente. Otro caso importante es el de una cadena de Markov que se analiza en detalle a continuación.
Una interpretación similar es válida para los procesos estocásticos de tiempo continuo, aunque la construcción de la estructura medible de la acción es más complicada.
Ergodicidad de las cadenas de Markov
El sistema dinámico asociado con una cadena de Markov
Dejar ser un conjunto finito. Una cadena de Markov en está definido por una matriz , dónde es la probabilidad de transición de a , así que para cada tenemos . Una medida estacionaria para es una medida de probabilidad en tal que ; es decir para todos .
Usando estos datos podemos definir una medida de probabilidad En el set con su producto σ-álgebra dando las medidas de los cilindros de la siguiente manera:
Criterio de ergodicidad
La medida es siempre ergódico para el mapa de cambios si la cadena de Markov asociada es irreducible (cualquier estado puede alcanzarse con probabilidad positiva desde cualquier otro estado en un número finito de pasos). [10]
Las hipótesis anteriores implican que existe una medida estacionaria única para la cadena de Markov. En términos de la matriz una condición suficiente para esto es que 1 sea un valor propio simple de la matriz y todos los demás valores propios de (en ) son de módulo <1.
Tenga en cuenta que en la teoría de la probabilidad la cadena de Markov se llama ergódica si además cada estado es aperiódico (los momentos en los que la probabilidad de retorno es positiva no son múltiplos de un único entero> 1). Esto no es necesario para que la medida invariante sea ergódica; por tanto, las nociones de "ergodicidad" para una cadena de Markov y la medida invariante de desplazamiento asociada son diferentes (la de la cadena es estrictamente más fuerte). [11]
Además, el criterio es "si y sólo si" si todas las clases comunicantes de la cadena son recurrentes y consideramos todas las medidas estacionarias.
Ejemplos de
Medida de conteo
Si para todos entonces la medida estacionaria es la medida de conteo, la medida es el producto de medidas de conteo. La cadena de Markov es ergódica, por lo que el ejemplo de cambio de arriba es un caso especial del criterio.
Cadenas de Markov no ergódicas
Las cadenas de Markov con clases comunicantes recurrentes no son irreductibles, no son ergódicas, y esto se puede ver inmediatamente de la siguiente manera. Si Hay dos clases de comunicación recurrentes distintas, hay medidas estacionarias distintas de cero. apoyado en respectivamente y los subconjuntos y son invariantes al cambio y de medida 1.2 para la medida de probabilidad invariante . Un ejemplo muy simple de eso es la cadena en dado por la matriz (ambos estados son estacionarios).
Una cadena periódica
La cadena de Markov en dado por la matriz es irreductible pero periódico. Por tanto, no es ergódico en el sentido de la cadena de Markov, aunque la medida asociada en es ergódico para el mapa de cambios. Sin embargo, el turno no se mezcla para esta medida, como para los conjuntos
Generalizaciones
Acciones grupales ergódicas
La definición de ergodicidad también tiene sentido para las acciones grupales . La teoría clásica (para transformaciones invertibles) corresponde a acciones de o .
Medidas cuasi invariantes
Para los grupos no abelianos, es posible que no haya medidas invariantes incluso en espacios métricos compactos. Sin embargo, la definición de ergodicidad se mantiene sin cambios si se reemplazan las medidas invariantes por medidas cuasi invariantes .
Ejemplos importantes son la acción de un grupo de Lie semisimple (o una celosía en él) en su límite de Furstenberg .
Relaciones ergódicas
Una relación de equivalencia medible se dice que es ergódica si todos los subconjuntos saturados son nulos o completos.
Notas
- ^ Feller, William (1 de agosto de 2008). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones (2ª ed.). Wiley India Pvt. Limitado. pag. 271. ISBN 978-81-265-1806-7.
- ^ Walters 1982 , §0.1, p. 2
- ^ Gallavotti, Giovanni (1995). "Ergodicidad, conjuntos, irreversibilidad en Boltzmann y más allá". Revista de física estadística . 78 (5-6): 1571-1589. arXiv : chao-dyn / 9403004 . Código Bibliográfico : 1995JSP .... 78.1571G . doi : 10.1007 / BF02180143 . S2CID 17605281 .
- ^ Walters , 1982 , p. 32.
- ^ Walters , 1982 , p. 29.
- ^ "Ejemplo de un sistema de preservación de medidas con órbitas densas que no es ergódico" . MathOverflow . 1 de septiembre de 2011 . Consultado el 16 de mayo de 2020 .
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- ^ "Diferentes usos de la palabra" ergódica " " . MathOverflow . 4 de septiembre de 2011 . Consultado el 16 de mayo de 2020 .
Referencias
- Walters, Peter (1982). Introducción a la teoría ergódica . Springer . ISBN 0-387-95152-0.
- Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002). Introducción a los sistemas dinámicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-80841-3.
enlaces externos
- Karma Dajani y Sjoerd Dirksin, "Una introducción simple a la teoría ergódica"