En estadística , originalmente en geoestadística , kriging o Kriging , también conocido como regresión del proceso gaussiano , es un método de interpolación basado en el proceso gaussiano gobernado por covarianzas previas . Bajo supuestos adecuados sobre los antecedentes, kriging da la mejor predicción lineal insesgada (BLUP) en ubicaciones sin muestrear. [1] Es posible que los métodos de interpolación basados en otros criterios como suavidad (por ejemplo, suavizado de spline ) no produzcan el BLUP. El método se utiliza ampliamente en el dominio del análisis espacial yexperimentos informáticos . La técnica también se conoce como predicción de Wiener-Kolmogorov , en honor a Norbert Wiener y Andrey Kolmogorov .
La base teórica para el método fue desarrollada por el matemático francés Georges Matheron en 1960, basado en la tesis de maestría de Danie G. Krige , el trazador pionero de leyes de oro promedio ponderadas por distancia en el complejo de arrecifes de Witwatersrand en Sudáfrica . Krige trató de estimar la distribución más probable de oro basándose en muestras de algunos pozos. El verbo inglés es krige y el sustantivo más común es kriging ; ambos a menudo se pronuncian con una "g" dura , siguiendo una pronunciación anglicanizada del nombre "Krige". La palabra a veces se escribe con mayúscula Kriging en la literatura.
Aunque es computacionalmente intensivo en su formulación básica, el kriging se puede escalar a problemas más grandes utilizando varios métodos de aproximación .
Principios fundamentales
Términos y técnicas relacionados
La idea básica de kriging es predecir el valor de una función en un punto dado calculando un promedio ponderado de los valores conocidos de la función en la vecindad del punto. El método está estrechamente relacionado matemáticamente con el análisis de regresión . Ambas teorías derivan un mejor estimador lineal insesgado , basado en supuestos sobre covarianzas , utilizan el teorema de Gauss-Markov para demostrar la independencia de la estimación y el error, y utilizan fórmulas muy similares. Aun así, son útiles en diferentes marcos: el kriging se realiza para la estimación de una única realización de un campo aleatorio, mientras que los modelos de regresión se basan en múltiples observaciones de un conjunto de datos multivariados.
La estimación de kriging también puede verse como una spline en un espacio de Hilbert del núcleo de reproducción , con el núcleo de reproducción dado por la función de covarianza. [2] La diferencia con el enfoque clásico de kriging la proporciona la interpretación: mientras que el spline está motivado por una interpolación de norma mínima basada en una estructura espacial de Hilbert, el kriging está motivado por un error de predicción al cuadrado esperado basado en un modelo estocástico.
Kriging con superficies de tendencia polinomial es matemáticamente idéntico al ajuste de curvas polinomiales de mínimos cuadrados generalizados .
Kriging también puede entenderse como una forma de inferencia bayesiana . [3] Kriging comienza con una antes de la distribución a través de funciones . Este prior toma la forma de un proceso gaussiano:las muestras de una función se distribuirán normalmente , donde la covarianza entre dos muestras cualesquiera es la función de covarianza (o núcleo ) del proceso gaussiano evaluado en la ubicación espacial de dos puntos. Luego se observa un conjunto de valores, cada valor asociado con una ubicación espacial. Ahora, se puede predecir un nuevo valor en cualquier nueva ubicación espacial, combinando el prior gaussiano con una función de verosimilitud gaussiana para cada uno de los valores observados. La distribución posterior resultante también es gaussiana, con una media y una covarianza que pueden calcularse simplemente a partir de los valores observados, su varianza y la matriz del núcleo derivada de la anterior.
Estimador geoestadístico
En los modelos geoestadísticos, los datos muestreados se interpretan como resultado de un proceso aleatorio. El hecho de que estos modelos incorporen incertidumbre en su conceptualización no significa que el fenómeno - el bosque, el acuífero, el depósito mineral - haya resultado de un proceso aleatorio, sino que permite construir una base metodológica para la inferencia espacial de cantidades en ubicaciones no observadas, y para cuantificar la incertidumbre asociada con el estimador.
Un proceso estocástico es, en el contexto de este modelo, simplemente una forma de abordar el conjunto de datos recopilados de las muestras. El primer paso en la modulación geoestadística es crear un proceso aleatorio que describa mejor el conjunto de datos observados.
Un valor de la ubicación (denominación genérica de un conjunto de coordenadas geográficas ) se interpreta como una realizaciónde la variable aleatoria . En el espacio, donde se dispersa el conjunto de muestras, hay realizaciones de las variables aleatorias , correlacionados entre sí.
El conjunto de variables aleatorias constituye una función aleatoria de la que solo se conoce una realización - el conjunto de datos observados. Con solo una realización de cada variable aleatoria, es teóricamente imposible determinar cualquier parámetro estadístico de las variables individuales o de la función. La solución propuesta en el formalismo geoestadístico consiste en asumir varios grados de estacionariedad en la función aleatoria, para posibilitar la inferencia de algunos valores estadísticos.
Por ejemplo, si se asume, basado en la homogeneidad de las muestras en el área donde la variable está distribuida, la hipótesis de que el primer momento es estacionario (es decir, todas las variables aleatorias tienen la misma media), entonces se supone que la media se puede estimar mediante la media aritmética de los valores muestreados.
La hipótesis de estacionariedad relacionada con el segundo momento se define de la siguiente manera: la correlación entre dos variables aleatorias depende únicamente de la distancia espacial entre ellas, y es independiente de su ubicación. Así que si y luego:
y, por simplicidad, definimos y .
Esta hipótesis permite inferir esas dos medidas: el variograma y el covariograma :
dónde:
- ;
- denota el conjunto de pares de observaciones tal que , y es el número de parejas del conjunto. En este conjunto, y denotar el mismo elemento. Generalmente una "distancia aproximada" se utiliza, implementado con una cierta tolerancia.
Estimación lineal
Inferencia espacial, o estimación, de una cantidad , en un lugar no observado , se calcula a partir de una combinación lineal de los valores observados y pesos :
Los pesos tienen la intención de resumir dos procedimientos extremadamente importantes en un proceso de inferencia espacial:
- reflejar la "proximidad" estructural de las muestras a la ubicación de la estimación,
- al mismo tiempo, deben tener un efecto de desegregación, a fin de evitar el sesgo causado por eventuales conglomerados de muestras
Al calcular los pesos , hay dos objetivos en el formalismo geoestadístico: imparcialidad y mínima varianza de estimación .
Si la nube de valores reales se traza contra los valores estimados , el criterio de imparcialidad global, estacionariedad intrínseca o estacionariedad de sentido amplio del campo, implica que la media de las estimaciones debe ser igual a la media de los valores reales.
El segundo criterio dice que la media de las desviaciones al cuadrado debe ser mínimo, lo que significa que cuando la nube de valores estimados versus los valores reales de la nube es más dispersa, el estimador es más impreciso.
Métodos
Dependiendo de las propiedades estocásticas del campo aleatorio y de los diversos grados de estacionariedad asumidos, se pueden deducir diferentes métodos para calcular los pesos, es decir, se aplican diferentes tipos de kriging. Los métodos clásicos son:
- El kriging ordinario asume una media desconocida constante solo en el vecindario de búsqueda de.
- El kriging simple asume la estacionariedad del primer momento en todo el dominio con una media conocida:, dónde es la media conocida.
- Kriging universal asume un modelo de tendencia polinomial general, como el modelo de tendencia lineal .
- IRFk-kriging asume ser un polinomio desconocido en.
- Indicador krigingutiliza funciones de indicador en lugar del proceso en sí, para estimar las probabilidades de transición.
- Kriging de indicadores múltipleses una versión del indicador kriging que trabaja con una familia de indicadores. Inicialmente, MIK mostró una promesa considerable como un nuevo método que podría estimar con mayor precisión las concentraciones o leyes globales de depósitos minerales. Sin embargo, estos beneficios se han visto superados por otros problemas inherentes de practicidad en el modelado debido a los tamaños de bloque inherentemente grandes utilizados y también a la falta de resolución de escala de minería. La simulación condicional se está convirtiendo rápidamente en la técnica de reemplazo aceptada en este caso. [ cita requerida ]
- Kriging disyuntivo es una generalización no lineal de kriging.
- lognormal kriginginterpola datos positivos mediante logaritmos .
- El kriging latente asume los diversos krigings en el nivel latente (segunda etapa) del modelo no lineal de efectos mixtos para producir una predicción funcional espacial. [4] Esta técnica es útil cuando se analizan datos funcionales espaciales. dónde es una serie temporal de datos sobre período, es un vector de covariables y es una ubicación espacial (longitud, latitud) del -ésimo tema.
Kriging ordinario
El valor desconocido se interpreta como una variable aleatoria ubicada en , así como los valores de las muestras de vecinos . El estimador también se interpreta como una variable aleatoria ubicada en , resultado de la combinación lineal de variables.
Para deducir el sistema de kriging para los supuestos del modelo, se cometió el siguiente error al estimar en se declara:
Los dos criterios de calidad mencionados anteriormente ahora se pueden expresar en términos de la media y la varianza de la nueva variable aleatoria. :
Falta de sesgo :
Dado que la función aleatoria es estacionaria, , se observa la siguiente restricción:
Para garantizar que el modelo sea insesgado, las ponderaciones deben sumar uno.
Varianza mínima :
Dos estimadores pueden tener , pero la dispersión alrededor de su media determina la diferencia entre la calidad de los estimadores. Para encontrar un estimador con varianza mínima, necesitamos minimizar.
* consulte la matriz de covarianza para obtener una explicación detallada
* donde los literales representar .
Una vez definido el modelo de covarianza o variograma , o , válido en todos los campos de análisis de , entonces podemos escribir una expresión para la varianza de estimación de cualquier estimador en función de la covarianza entre las muestras y las covarianzas entre las muestras y el punto a estimar:
Se pueden afirmar algunas conclusiones a partir de esta expresión. La varianza de la estimación:
- no es cuantificable para ningún estimador lineal, una vez asumida la estacionariedad de la media y de las covarianzas espaciales, o variogramas.
- crece cuando la covarianza entre las muestras y el punto a estimar disminuye. Esto significa que, cuando las muestras están más lejos de, la estimación empeora.
- crece con la varianza a priori de la variable . Cuando la variable es menos dispersa, la varianza es menor en cualquier punto del área.
- no depende de los valores de las muestras. Esto significa que la misma configuración espacial (con las mismas relaciones geométricas entre las muestras y el punto a estimar) siempre reproduce la misma varianza de estimación en cualquier parte del área.. De esta forma, la varianza no mide la incertidumbre de estimación producida por la variable local.
- Sistema de ecuaciones
Resolver este problema de optimización (ver multiplicadores de Lagrange ) da como resultado el sistema kriging :
el parámetro adicional es un multiplicador de Lagrange utilizado en la minimización del error de kriging para honrar la condición de imparcialidad.
Kriging simple
El kriging simple es matemáticamente el más simple, pero el menos general. [5] Supone la expectativa de que se conozca el campo aleatorio y se basa en una función de covarianza . Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, ni la expectativa ni la covarianza se conocen de antemano.
Los supuestos prácticos para la aplicación del kriging simple son:
- Estacionariedad de sentido amplio del campo (varianza estacionaria).
- La expectativa es cero en todas partes: .
- Función de covarianza conocida
- Sistema de ecuaciones
Los pesos de kriging de kriging simple no tienen una condición de insesgado y están dados por el sistema de ecuaciones de kriging simple :
Esto es análogo a una regresión lineal de en el otro .
- Estimacion
La interpolación por kriging simple viene dada por:
El error de kriging viene dado por:
que conduce a la versión generalizada de mínimos cuadrados del teorema de Gauss-Markov (Chiles & Delfiner 1999, p. 159):
Propiedades
- La estimación de kriging es insesgada:
- La estimación de kriging respeta el valor realmente observado: (asumiendo que no se incurre en ningún error de medición)
- La estimación de kriging es el mejor estimador lineal insesgado desi las suposiciones se mantienen. Sin embargo (por ejemplo, Cressie 1993):
- Como con cualquier método: si las suposiciones no se cumplen, el kriging podría ser malo.
- Puede haber mejores métodos no lineales y / o sesgados.
- No se garantizan propiedades cuando se utiliza el variograma incorrecto. Sin embargo, normalmente se consigue una interpolación "buena".
- Lo mejor no es necesariamente bueno: por ejemplo, en caso de que no haya dependencia espacial, la interpolación de kriging es tan buena como la media aritmética.
- Kriging proporciona como medida de precisión. Sin embargo, esta medida se basa en la exactitud del variograma.
[6]
Aplicaciones
Aunque kriging se desarrolló originalmente para aplicaciones en geoestadística, es un método general de interpolación estadística que se puede aplicar dentro de cualquier disciplina a datos muestreados de campos aleatorios que satisfagan los supuestos matemáticos apropiados. Se puede utilizar cuando se han recopilado datos relacionados con el espacio (en 2-D o 3-D) y se desean estimaciones de datos de "relleno" en las ubicaciones (espacios espaciales) entre las mediciones reales.
Hasta la fecha, el kriging se ha utilizado en una variedad de disciplinas, incluidas las siguientes:
- Ciencias ambientales [7]
- Hidrogeología [8] [9] [10]
- Minería [11] [12]
- Recursos naturales [13] [14]
- Teledetección [15]
- Tasación de bienes inmuebles [16] [17]
- Análisis y optimización de circuitos integrados [18]
- Modelado de dispositivos de microondas [19]
- Astronomía [20] [21] [22]
- Predicción de la curva de producción de petróleo de los pozos de petróleo de esquisto [23]
Diseño y análisis de experimentos informáticos
Otro campo de aplicación muy importante y en rápido crecimiento, en ingeniería , es la interpolación de datos que surgen como variables de respuesta de simulaciones deterministas por computadora, [24] por ejemplo , simulaciones del método de elementos finitos (FEM). En este caso, el kriging se utiliza como una herramienta de metamodelado , es decir, un modelo de caja negra construido sobre un conjunto diseñado de experimentos informáticos . En muchos problemas prácticos de ingeniería, como el diseño de un proceso de conformado de metal , una sola simulación FEM puede durar varias horas o incluso algunos días. Por lo tanto, es más eficiente diseñar y ejecutar un número limitado de simulaciones por computadora y luego usar un interpolador kriging para predecir rápidamente la respuesta en cualquier otro punto de diseño. Por lo tanto, Kriging se utiliza con mucha frecuencia como un modelo sustituto , implementado dentro de las rutinas de optimización . [25]
Ver también
- Estadísticas lineales de Bayes
- Proceso gaussiano
- Interpolación multivariante
- Regresión no paramétrica
- Interpolación de función de base radial
- Mapeo espacial
- Dependencia espacial
- Variograma
- Kriging mejorado con gradiente (GEK)
- Modelo sustituto
- Teoría del campo de información
Referencias
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