conjetura de Vaught

La conjetura de Vaught es una conjetura en el campo matemático de la teoría de modelos propuesta originalmente por Robert Lawson Vaught en 1961. Establece que el número de modelos contables de una teoría completa de primer orden en un lenguaje contable es finito o ℵ ₀ o 2 ^{ℵ ₀} . Morley demostró que el número de modelos contables es finito o ℵ ₀ o ℵ ₁ o 2 ^{ℵ ₀} , lo que resuelve la conjetura excepto en el caso de ℵ ₁ modelos cuando la hipótesis del continuofalla Para este caso restante, Robin Knight ( 2002 , 2007 ) ha anunciado un contraejemplo a la conjetura de Vaught y la conjetura topológica de Vaught. A partir de 2021, el contraejemplo no se ha verificado.

Sea una teoría completa contable de primer orden con infinitos modelos. Denotemos el número de modelos de T de cardinalidad hasta el isomorfismo, el espectro de la teoría . Morley demostró que si I ( T , ℵ ₀ ) es infinito entonces debe ser ℵ ₀ o ℵ ₁ o la cardinalidad del continuo. La conjetura de Vaught es la afirmación de que no es posible para . La conjetura es una consecuencia trivial de la hipótesis del continuo ${\ estilo de visualización T}$ ${\ estilo de visualización I (T, \ alfa)}$ ${\ estilo de visualización \ alfa}$ ${\ estilo de visualización T}$ ${\ estilo de visualización \ aleph _ {0} I (T, \ aleph _ {0}) <2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ; por lo que este axioma a menudo se excluye en el trabajo sobre la conjetura. Alternativamente, hay una forma más nítida de la conjetura que establece que cualquier T completo contable con un número incontable de modelos contables tendrá un conjunto perfecto de modelos incontables (como lo señaló John Steel , en "On Vaught's conjecture". Cabal Seminar 76—77 ( Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976—77), págs. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978, esta forma de la conjetura de Vaught es equiprobable con la original).

La formulación original de Vaught no se planteó como una conjetura, sino como un problema: ¿Se puede probar, sin el uso de la hipótesis del continuo, que existe una teoría completa que tiene exactamente ℵ ₁ modelos numerables no isomorfos? Por el resultado de Morley mencionado al principio, una solución positiva a la conjetura corresponde esencialmente a una respuesta negativa al problema de Vaught como se planteó originalmente.

Vaught demostró que el número de modelos contables de una teoría completa no puede ser 2. Puede ser cualquier número finito que no sea 2, por ejemplo:

La idea de la demostración del teorema de Vaught es la siguiente. Si hay como máximo muchos modelos contables, entonces hay uno más pequeño: el modelo atómico , y uno más grande, el modelo saturado , que son diferentes si hay más de un modelo. Si son diferentes, el modelo saturado debe realizar algún tipo n omitido por el modelo atómico. Entonces se puede demostrar que un modelo atómico de la teoría de estructuras que realiza este n-type (en un lenguaje expandido por un número finito de constantes) es un tercer modelo, no isomorfo ni al modelo atómico ni al saturado. En el ejemplo anterior con 3 modelos, el modelo atómico es aquel donde la secuencia es ilimitada, el modelo saturado es aquel donde la secuencia no converge, y un ejemplo de un tipo no realizado por el modelo atómico es un elemento mayor que todos los elementos de la secuencia.