En la teoría de modelos , un subcampo de la lógica matemática , un modelo atómico es un modelo tal que el tipo completo de cada tupla se axiomatiza mediante una única fórmula. Estos tipos se denominan tipos principales y las fórmulas que los axiomatizan se denominan fórmulas completas .
Definiciones
Sea T una teoría . Un tipo completo p ( x 1 , ..., x n ) se llama principal o atómico (en relación con T ) si se axiomatiza en relación con T mediante una única fórmula φ ( x 1 , ..., x n ) ∈ p ( x 1 , ..., x n ).
Una fórmula φ se llama completa en T si para cada fórmula ψ ( x 1 , ..., x n ), la teoría T ∪ { φ } implica exactamente uno de ψ y ¬ ψ . [1] De ello se deduce que un tipo completo es principal si y solo si contiene una fórmula completa.
Un modelo M se llama atómica si cada n tupla de elementos de M satisface una fórmula que es completa en Th ( M ) -la teoría de M .
Ejemplos de
- El campo ordenado de números algebraicos reales es el modelo atómico único de la teoría de campos cerrados reales .
- Cualquier modelo finito es atómico.
- Un orden lineal denso sin puntos finales es atómico.
- Cualquier modelo primo de una teoría contable es atómico según el teorema de tipos omitidos.
- Cualquier modelo atómico contable es primo, pero hay muchos modelos atómicos que no son primos, como un orden lineal denso incontable sin puntos finales.
- La teoría de un número contable de relaciones unarias independientes es completa pero no tiene fórmulas completables ni modelos atómicos.
Propiedades
El método de ida y vuelta se puede utilizar para mostrar que dos modelos atómicos contables cualesquiera de una teoría que son elementalmente equivalentes son isomórficos.
Notas
- ^ Algunos autores se refieren a las fórmulas completas como "fórmulas atómicas", pero esto es incompatible con la noción puramente sintáctica de un átomo o fórmula atómica como una fórmula que no contiene una subfórmula adecuada.
Referencias
- Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990), Teoría de modelos , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas (3a ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelo más breve , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6