En matemáticas , el producto cuádruple es un producto de cuatro vectores en el espacio euclidiano tridimensional . El nombre "producto cuádruple" se utiliza para dos productos diferentes, [1] el producto cuádruple escalar con valor escalar y el producto cuádruple vectorial con valor vectorial o el producto vectorial de cuatro vectores .
El producto cuádruple escalar se define como el producto escalar de dos productos cruzados :
donde a, b, c, d son vectores en el espacio euclidiano tridimensional. [2] Puede evaluarse utilizando la identidad: [2]
o usando el determinante :
El producto cuádruple vectorial se define como el producto cruzado de dos productos cruzados:
donde a, b, c, d son vectores en el espacio euclidiano tridimensional. [3] Puede evaluarse utilizando la identidad: [4]
Esta identidad también se puede escribir usando notación tensorial y la convención de suma de Einstein de la siguiente manera:
usando la notación para el producto triple :
donde las dos últimas formas son determinantes con que denota vectores unitarios a lo largo de tres direcciones mutuamente ortogonales.
Se pueden obtener formas equivalentes utilizando la identidad: [5]
Los productos cuádruples son útiles para derivar varias fórmulas en geometría esférica y plana. [3] Por ejemplo, si se eligen cuatro puntos en la esfera unitaria, A, B, C, D , y los vectores unitarios dibujados desde el centro de la esfera a los cuatro puntos, a, b, c, d respectivamente, la identidad :
junto con la relación para la magnitud del producto cruzado:
y el producto escalar:
donde a = b = 1 para la esfera unitaria, resulta en la identidad entre los ángulos atribuidos a Gauss:
donde x es el ángulo entre un × b y c × d , o de forma equivalente, entre los planos definidos por estos vectores.
El trabajo pionero de Josiah Willard Gibbs sobre cálculo vectorial proporciona varios otros ejemplos. [3]