En una notación vectorial más compacta, la identidad de Lagrange se expresa como: [3]
donde un y b son n vectores dimensionales con componentes que son números reales. La extensión a números complejos requiere la interpretación del producto escalar como un producto interno o un producto escalar hermitiano. Explícitamente, para números complejos, la identidad de Lagrange se puede escribir en la forma: [4]
Geométricamente, la identidad afirma que el cuadrado del volumen del paralelepípedo generado por un conjunto de vectores es el determinante de Gram de los vectores.
La identidad de Lagrange y el álgebra exterior
En términos del producto de la cuña , la identidad de Lagrange se puede escribir
Por lo tanto, puede verse como una fórmula que da la longitud del producto de la cuña de dos vectores, que es el área del paralelogramo que definen, en términos de los productos escalares de los dos vectores, como
Identidad de Lagrange y cálculo vectorial
En tres dimensiones, la identidad de Lagrange afirma que si una y b son vectores en ℝ 3 con longitudes | a | y | b |, entonces la identidad de Lagrange se puede escribir en términos de producto cruzado y producto escalar : [6] [7]
donde θ es el ángulo formado por los vectores a y b . El área de un paralelogramo con lados | a | y | b | y se sabe que el ángulo θ en geometría elemental es
por lo que el lado izquierdo de la identidad de Lagrange es el área al cuadrado del paralelogramo. El producto cruzado que aparece en el lado derecho está definido por
que es un vector cuyas componentes son iguales en magnitud a las áreas de las proyecciones del paralelogramo en los planos yz , zx y xy , respectivamente.
Siete dimensiones
Para una y b como vectores en ℝ 7 , la identidad de Lagrange lleva en la misma forma que en el caso de ℝ 3 [8]
Sin embargo, el producto cruzado en 7 dimensiones no comparte todas las propiedades del producto cruzado en 3 dimensiones. Por ejemplo, la dirección de A × B en 7-dimensiones puede ser el mismo que c × d a pesar de que c y d son linealmente independientes de una y b . Además, el producto cruzado de siete dimensiones no es compatible con la identidad de Jacobi . [8]
Cuaterniones
Un cuaternión p se define como la suma de un escalar ty un vector v :
El producto de dos cuaterniones p = t + v y q = s + w se define por
El conjugado cuaterniónico de q se define por
y la norma al cuadrado es
El multiplicabilidad de la norma en el álgebra de cuaterniones proporciona, por cuaterniones p y q : [9]
El cuaterniones p y q son llamados imaginaria si su parte escalar es cero; de manera equivalente, si
La identidad de Lagrange es solo la multiplicatividad de la norma de los cuaterniones imaginarios,
ya que, por definición,
Prueba de forma algebraica
La forma vectorial se deriva de la identidad de Binet-Cauchy estableciendo c i = a i y d i = b i . La segunda versión sigue haciendo que c i y d i denoten los conjugados complejos de a i y b i , respectivamente,
Aquí también hay una prueba directa. [10] La expansión del primer término en el lado izquierdo es:
( 1 )
lo que significa que el producto de una columna de a sy una fila de b s produce (una suma de elementos de) un cuadrado de ab s , que se puede dividir en una diagonal y un par de triángulos a cada lado de la diagonal .
El segundo término en el lado izquierdo de la identidad de Lagrange se puede expandir como:
( 2 )
lo que significa que un cuadrado simétrico se puede dividir en su diagonal y un par de triángulos iguales a cada lado de la diagonal.
Para expandir la suma en el lado derecho de la identidad de Lagrange, primero expanda el cuadrado dentro de la suma:
Distribuya la suma en el lado derecho,
Ahora intercambie los índices i y j del segundo término en el lado derecho, y permuta los factores b del tercer término, obteniendo:
( 3 )
Volviendo al lado izquierdo de la identidad de Lagrange: tiene dos términos, dados en forma expandida por las ecuaciones (' 1 ' ) y (' 2 ' ) . El primer término en el lado derecho de la Ecuación (' 2 ' ) termina cancelando el primer término en el lado derecho de la Ecuación (' 1 ' ) , produciendo
que es lo mismo que la Ecuación (' 3 ' ) , por lo que la identidad de Lagrange es de hecho una identidad, QED .
Prueba de la identidad de Lagrange para números complejos
Las álgebras de división normativas requieren que la norma del producto sea igual al producto de las normas. La identidad de Lagrange exhibe esta igualdad. La identidad de producto utilizada aquí como punto de partida, es una consecuencia de la norma de igualdad del producto con el producto de la norma para álgebras de escatores. Esta propuesta, presentada originalmente en el contexto de una métrica de Lorentz deformada, se basa en una transformación derivada de la operación del producto y la definición de magnitud en el álgebra de escatores hiperbólicos. [11] La identidad de Lagrange se puede probar de diversas formas. [4] La mayoría de las derivaciones utilizan la identidad como punto de partida y demuestran de una forma u otra que la igualdad es verdadera. En el enfoque actual, la identidad de Lagrange se deriva en realidad sin asumirla a priori . [ cita requerida ]
Dejar ser números complejos y la barra superior representa un conjugado complejo.
La identidad del producto se reduce a la compleja identidad de Lagrange cuando se consideran términos de cuarto orden, en una expansión en serie.
Para demostrarlo, amplíe el producto en el lado izquierdo de la identidad del producto en términos de serie hasta el cuarto orden. Para ello, recuerde que los productos de la forma se puede ampliar en términos de sumas como dónde significa términos con orden tres o superior en .
Los dos factores del RHS también se escriben en términos de series.
El producto de esta expresión hasta el cuarto orden es
La sustitución de estos dos resultados en la identidad del producto da
El producto de dos series conjugadas se puede expresar como series que involucran el producto de términos conjugados. El producto de la serie conjugada es, por lo tanto
Los términos de las dos últimas series de la LHS se agrupan como para obtener la identidad compleja de Lagrange:
En términos de módulos,
La identidad de Lagrange para números complejos se ha obtenido a partir de una identidad de producto sencilla. Una derivación de los reales es obviamente aún más sucinta. Dado que la desigualdad de Cauchy-Schwarz es un caso particular de la identidad de Lagrange, [4] esta prueba es otra forma de obtener la desigualdad de CS. Los términos de orden superior en la serie producen identidades novedosas.
^ Eric W. Weisstein (2003). Enciclopedia concisa de matemáticas CRC (2ª ed.). Prensa CRC. ISBN 1-58488-347-2.
^Robert E Greene ; Steven G Krantz (2006). "Ejercicio 16". Teoría de funciones de una variable compleja (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 22. ISBN 0-8218-3962-4.
^Vladimir A. Boichenko; Gennadiĭ Alekseevich Leonov; Volker Reitmann (2005). Teoría de dimensiones para ecuaciones diferenciales ordinarias . Vieweg + Teubner Verlag. pag. 26. ISBN 3-519-00437-2.
^ a b cJ. Michael Steele (2004). "Ejercicio 4.4: Identidad de Lagrange para números complejos". La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 68–69. ISBN 0-521-54677-X.
^Greene, Robert E .; Krantz, Steven G. (2002). Teoría de funciones de una variable compleja . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 22, ejercicio 16. ISBN 978-0-8218-2905-9.; Palka, Bruce P. (1991). Introducción a la teoría de funciones complejas . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . pag. 27 , ejercicio 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9..
^Howard Anton; Chris Rorres (2010). "Relaciones entre productos punto y cruzado". Álgebra lineal elemental: Versión de aplicaciones (10ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 162. ISBN 0-470-43205-5.
^Pertti Lounesto (2001). Álgebras y espinores de Clifford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 94. ISBN 0-521-00551-5.
^ a bPuerta Pertti Lounesto (2001). Álgebras y espinores de Clifford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-00551-5.Véase en particular el § 7.4 Productos cruzados en el § 7 , pág. 96.
^Jack B. Kuipers (2002). "§5.6 La norma". Cuaterniones y secuencias de rotación: una cartilla con aplicaciones a órbitas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 111. ISBN 0-691-10298-8.
^ Véase, por ejemplo, Frank Jones, Rice University , página 4 en el capítulo 7 de un libro aún por publicar .
^ M. Fernández-Guasti, Realización alternativa para la composición de velocidades relativistas , Óptica y Fotónica 2011, vol. 8121 de La naturaleza de la luz: ¿Qué son los fotones? IV, págs. 812108–1–11. SPIE, 2011.
enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Identidad de Lagrange" . MathWorld .