El versino o seno versado es una función trigonométrica que se encuentra en algunas de las tablas trigonométricas más antiguas (Vedic Aryabhatia I) . La versina de un ángulo es 1 menos su coseno .
Hay varias funciones relacionadas, entre las que destaca el coverine y el haversine . Este último, medio versine, es de particular importancia en la fórmula de navegación haversine .
Descripción general
El versine [2] [3] [4] [5] [6] o sine versado [7] [8] [9] [10] [11] es una función trigonométrica ya que aparece en algunas de las tablas trigonométricas más tempranos. Está escrito como versin ( θ ) , sinver ( θ ) , [12] [13] vers ( θ ) , ver ( θ ) [14] o siv ( θ ) . [15] [16] En latín , se conoce como sinus versus (seno invertido), versinus , versus o sagitta (flecha). [17]
Expresado en términos de las funciones de senos "verticales" ( seno recto ) y cosenos ( cosino recto ) más comúnmente utilizadas , el verseno es igual a
Hay varias funciones relacionadas que corresponden a la versina:
- El coseno versado , [18] [nb 1] o vercoseno , vercosina escrita ( θ ) , vercos ( θ ) o vcs ( θ )
- El seno cubierto , coversine , [19] cosinus versus, o coversinus , cubiertas escritas en ( θ ) , [20] cubre ( θ ) , [21] [22] [23] cosiv ( θ ) o cvs ( θ ) [24]
- El coseno cubierto [25] o covercoseno , escrito covercosin ( θ ) o covercos ( θ ) o cvc ( θ )
En completa analogía con las cuatro funciones mencionadas anteriormente, también existe otro conjunto de cuatro funciones de "valor medio":
- El seno haversado , [26] haversine o semiversus , [27] [28] escrito haversin ( θ ) , semiversin ( θ ) , semiversinus ( θ ) , havers ( θ ) , hav ( θ ) , [29] [30] hvs ( θ ) , [nb 2] sem ( θ ) o hv ( θ ) , [31] el más famoso de la fórmula haversine utilizada históricamente en la navegación
- El coseno haversado [32] o havercosine , escrito havercosin ( θ ) , havercos ( θ ) , hac ( θ ) o hvc ( θ )
- El seno hacoversed , también llamado hacoversine [20] o cohaversine y escrito hacoversin ( θ ) , semicoversin ( θ ) , hacovers ( θ ) , hacov ( θ ) [33] o hcv ( θ )
- El coseno hacoversed , [34] también llamado hacovercosine o cohavercosine y escrito hacovercosin ( θ ) , hacovercos ( θ ) o HCC ( θ )
Historia y aplicaciones
Versine y coversine
La función del seno ordinario ( ver nota sobre etimología ) a veces se llamaba históricamente seno recto ("seno recto"), para contrastarlo con el seno versado ( seno versus ). [36] El significado de estos términos es evidente si uno mira las funciones en el contexto original para su definición, un círculo unitario :
Para una cuerda vertical AB del círculo unitario, el seno del ángulo θ (que representa la mitad del ángulo subtendido Δ ) es la distancia AC (la mitad de la cuerda). Por otro lado, el seno versado de θ es la distancia CD desde el centro de la cuerda al centro del arco. Por lo tanto, la suma de cos ( θ ) (igual a la longitud de la línea OC ) y versin ( θ ) (igual a la longitud de la línea CD ) es el radio OD (con longitud 1). Ilustrado de esta manera, el seno es vertical ( rectus , literalmente "recto") mientras que el versine es horizontal ( versus , literalmente "vuelto en contra, fuera de lugar"); ambas son distancias de C al círculo.
Esta figura también ilustra la razón por la cual la versina a veces se llamaba sagitta , en latín para flecha , [17] [35] del uso árabe sahem [37] del mismo significado. Esto en sí mismo proviene de la palabra india 'sara' (flecha) [ cita requerida ] que se usaba comúnmente para referirse a " utkrama-jya ". Si el arco ADB del doble ángulo Δ = 2 θ se ve como un " arco " y el acorde AB como su "cuerda", entonces la versina CD es claramente el "eje de la flecha".
De acuerdo con la interpretación del seno como "vertical" y el seno versado como "horizontal", sagitta también es un sinónimo obsoleto de la abscisa (el eje horizontal de un gráfico). [35]
En 1821, Cauchy usó los términos sinus versus ( siv ) para el versine y cosinus versus ( cosiv ) para el coversine. [15] [16] [nb 1]
Históricamente, el seno versado se consideraba una de las funciones trigonométricas más importantes. [11] [36] [37]
Cuando θ va a cero, la versina ( θ ) es la diferencia entre dos cantidades casi iguales, por lo que un usuario de una tabla trigonométrica para el coseno solo necesitaría una precisión muy alta para obtener la versina a fin de evitar una cancelación catastrófica , haciendo tablas separadas para este último conveniente. [11] Incluso con una calculadora o computadora, los errores de redondeo hacen que sea aconsejable usar la fórmula sin 2 para θ pequeño .
Otra ventaja histórica del versine es que siempre es no negativo, por lo que su logaritmo se define en todas partes excepto en el ángulo simple ( θ = 0, 2 π ,…) donde es cero; por lo tanto, se pueden usar tablas logarítmicas para las multiplicaciones. en fórmulas que involucran versines.
De hecho, la tabla de valores de seno (medio acorde ) más antigua que se conserva (a diferencia de los acordes tabulados por Ptolomeo y otros autores griegos), calculada a partir del Surya Siddhantha de la India que se remonta al siglo III a. C., era una tabla de valores. para el seno y el seno versado (en incrementos de 3,75 ° de 0 a 90 °). [36]
La versina aparece como un paso intermedio en la aplicación de la fórmula de medio ángulo sen 2 (θ/2) = 1/2versin ( θ ), derivado de Ptolomeo , que se utilizó para construir tales tablas.
Haversine
El haversine, en particular, era importante en la navegación porque aparece en la fórmula de haversine , que se utiliza para calcular distancias con razonable precisión en un esferoide astronómico (ver problemas con el radio de la tierra frente a la esfera ) dadas las posiciones angulares (por ejemplo, longitud y latitud). ). También se podría usar el pecado 2 (θ/2) directamente, pero tener una tabla del haversine eliminó la necesidad de calcular cuadrados y raíces cuadradas. [11]
Una utilización temprana por parte de José de Mendoza y Ríos de lo que más tarde se llamaría haversines está documentada en 1801. [13] [38]
El primer equivalente en inglés conocido a una tabla de haversines fue publicado por James Andrew en 1805. [39] [40] [17]
En 1835, el término haversine (anotado naturalmente como hav. O en base 10 logarítmicamente como log. Haversine o log. Havers. ) Fue acuñado [41] por James Inman [13] [42] [43] en la tercera edición de su trabajo Navegación y Astronomía Náutica: Para el uso de marineros británicos para simplificar el cálculo de distancias entre dos puntos en la superficie de la tierra utilizando trigonometría esférica para aplicaciones en navegación. [2] [41] Inman también usó los términos nat. versine y nat. vers. para versines. [2]
Otras tablas de haversines de gran prestigio fueron las de Richard Farley en 1856 [39] [44] y John Caulfield Hannyngton en 1876. [39] [45]
El haversine sigue utilizándose en la navegación y ha encontrado nuevas aplicaciones en las últimas décadas, como en el método de Bruce D. Stark para despejar distancias lunares utilizando logaritmos gaussianos desde 1995 [46] [47] o en un método más compacto para la reducción de la vista desde 2014 . [31]
Usos modernos
Si bien el uso de versine, coversine y haversine, así como sus funciones inversas, se remonta a siglos atrás, los nombres de las otras cinco cofunciones parecen tener un origen mucho más reciente .
Un período (0 < θ < π/2) de una forma de onda versine o, más comúnmente, haversine (o havercosine) también se usa comúnmente en la teoría de control y procesamiento de señales como la forma de un pulso o una función de ventana (incluidas las ventanas de Hann , Hann-Poisson y Tukey ), porque suavemente ( continuo en valor y pendiente ) "se enciende" de cero a uno (para haversine) y de nuevo a cero. [nb 2] En estas aplicaciones, se denomina función de Hann o filtro de coseno elevado . Asimismo, la havercosina se utiliza en distribuciones de coseno elevado en teoría de probabilidad y estadística .
En la forma de sen 2 ( θ ), el haversine del doble ángulo Δ describe la relación entre extensiones y ángulos en trigonometría racional , una reformulación propuesta de geometrías métricas planas y sólidas por Norman John Wildberger desde 2005. [48]
Identidades matemáticas
Definiciones
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Rotaciones circulares
Las funciones son rotaciones circulares entre sí.
Derivadas e integrales
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[19] | [19] |
[26] | [26] |
Funciones inversas
Funciones inversas como arcversina [33] (arcversina, arcvers, [7] [33] avers, [50] [51] aver), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs), arccoversine [33] (arccoversin, arccovers, [ 7] [33] acovers, [50] [51] acvs), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), archaversine (archaversin, archav, [33] haversin −1 , [52] invhav, [33] [53 ] [54] [55] ahav, [33] [50] [51] ahvs, ahv, hav −1 [56] [57] ), archavercosine (archavercosin, archavercos, ahvc), archacoversine (archacoversin, ahcv) o archacovercosine (archacovercosin, archacovercos, ahcc) también existen:
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Otras propiedades
Estas funciones se pueden extender al plano complejo . [49] [19] [26]
Serie Maclaurin : [26]
- [7]
- [7]
Aproximaciones
Cuando la versina v es pequeña en comparación con el radio r , se puede aproximar a partir de la longitud de la mitad de la cuerda L (la distancia AC que se muestra arriba) mediante la fórmula
- . [58]
Alternativamente, si el versine es pequeño y se conocen el versine, el radio y la longitud de la mitad de la cuerda, se pueden usar para estimar la longitud del arco s ( AD en la figura anterior) mediante la fórmula
Esta fórmula era conocida por el matemático chino Shen Kuo , y dos siglos más tarde Guo Shoujing desarrolló una fórmula más precisa que también involucraba al sagitta . [59]
Una aproximación más precisa utilizada en ingeniería [60] es
Curvas y acordes arbitrarios
El término versine también se usa a veces para describir desviaciones de la rectitud en una curva plana arbitraria, de la cual el círculo anterior es un caso especial. Dada una cuerda entre dos puntos en una curva, la distancia perpendicular v desde la cuerda a la curva (generalmente en el punto medio de la cuerda) se llama medición versine . Para una línea recta, el versino de cualquier acorde es cero, por lo que esta medida caracteriza la rectitud de la curva. En el límite cuando la longitud de la cuerda L llega a cero, la relación 8 v/L 2va a la curvatura instantánea . Este uso es especialmente común en el transporte ferroviario , donde describe las mediciones de la rectitud de las vías del tren [61] y es la base del método Hallade para la topografía ferroviaria .
El término sagitta (a menudo abreviado sag ) se usa de manera similar en óptica , para describir las superficies de lentes y espejos .
Ver también
- Identidades trigonométricas
- Exsecante y excosecante
- Versiera ( Bruja de Agnesi )
- Exponencial menos 1
- Logaritmo natural más 1
Notas
- ^ a b Algunas fuentes inglesas confunden el coseno versado con el seno cubierto. Históricamente (fe en Cauchy, 1821 ), el seno versus (versine) se definió como siv ( θ ) = 1 − cos ( θ ), el cosino versus (lo que ahora también se conoce como coversine) como cosiv ( θ ) = 1− sin ( θ ), y la vercosina como vcs θ = 1 + cos ( θ ). Sin embargo, en su traducción al inglés de 2009 del trabajo de Cauchy, Bradley y Sandifer asocian el cosino versus (y cosiv) con el coseno versado (lo que ahora también se conoce como vercoseno) en lugar del seno cubierto . De manera similar, en su trabajo de 1968/2000, Korn y Korn asocian la función de cubiertas ( θ ) con el coseno versado en lugar del seno cubierto .
- ^ a b La abreviatura hvs que a veces se usa para la función haversine en el procesamiento y filtrado de señales también se usa a veces para la función escalonada Heaviside no relacionada .
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[…] Sin embargo, habría mucho trabajo de cálculo que podría ahorrarse mediante el uso de tablas de secantes externos y senos versados , que han sido empleadas con gran éxito recientemente por los ingenieros del ferrocarril de Ohio y Mississippi , y que, con el Las fórmulas y reglas necesarias para su aplicación al trazado de curvas, elaboradas por el Sr. Haslett, uno de los Ingenieros de esa Carretera, se dan ahora por primera vez al público. […] Al presentar este trabajo al público, el Autor reclama para él la adaptación de un nuevo principio en el análisis trigonométrico de las fórmulas generalmente utilizadas en los cálculos de campo. La experiencia ha demostrado que los senos versados y las secantes externas entran con tanta frecuencia en los cálculos de curvas como los senos y las tangentes; y por su uso, como se ilustra en los ejemplos dados en este trabajo, se cree que muchas de las reglas de uso general están mucho más simplificadas, y muchos cálculos relacionados con curvas y líneas corridas se hacen menos intrincados, y los resultados se obtienen con más precisión y mucho más. menos problemas que por cualquier método establecido en obras de este tipo. Los ejemplos dados han sido sugeridos por la práctica real y se explicarán por sí mismos. […] Como libro para uso práctico en el trabajo de campo, se cree con seguridad que esto es más directo en la aplicación de reglas y facilidad de cálculo que cualquier otro trabajo actualmente en uso. Además de las tablas que se encuentran generalmente en libros de este tipo, el autor ha preparado, con gran esfuerzo, una Tabla de senos naturales y logarítmicos versados y secantes externos, calculada en grados, para cada minuto; también, una Tabla de Radios y sus Logaritmos, de 1 ° a 60 °. […]
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Otras lecturas
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enlaces externos
- Pegg, Jr., Ed . "Sagitta, Apotema y acorde" . Proyecto de demostraciones Wolfram .
- Funciones trigonométricas en GeoGebra.org