Vibraciones de una membrana circular
Una membrana elástica bidimensional bajo tensión puede soportar vibraciones transversales . Las propiedades de un parche idealizado pueden modelarse mediante las vibraciones de una membrana circular de espesor uniforme, unida a un marco rígido. Debido al fenómeno de resonancia , a ciertas frecuencias de vibración , sus frecuencias de resonancia , la membrana puede almacenar energía vibratoria, moviéndose la superficie en un patrón característico de ondas estacionarias . A esto se le llama modo normal . Una membrana tiene un número infinito de estos modos normales, comenzando con una frecuencia más baja, uno llamado modo fundamental..
Existen infinitas formas en las que una membrana puede vibrar, cada una de las cuales depende de la forma de la membrana en un momento inicial y de la velocidad transversal de cada punto de la membrana en ese momento. Las vibraciones de la membrana vienen dadas por las soluciones de la ecuación de onda bidimensional con condiciones de frontera de Dirichlet que representan la restricción del marco. Se puede demostrar que cualquier vibración arbitrariamente compleja de la membrana puede descomponerse en una serie posiblemente infinita de modos normales de la membrana. Esto es análogo a la descomposición de una señal de tiempo en una serie de Fourier .
El estudio de las vibraciones en los tambores llevó a los matemáticos a plantear un famoso problema matemático sobre si se puede escuchar la forma de un tambor , cuya respuesta se dio en 1992 en el escenario bidimensional.
El análisis del problema del parche vibratorio del tambor explica los instrumentos de percusión como los tambores y los timbales . Sin embargo, también existe una aplicación biológica en el funcionamiento del tímpano . Desde un punto de vista educativo, los modos de un objeto bidimensional son una forma conveniente de demostrar visualmente el significado de modos, nodos, antinodos e incluso números cuánticos . Estos conceptos son importantes para comprender la estructura del átomo.
Considere un disco abierto de radio centrado en el origen, que representará la forma de la cabeza del tambor "inmóvil". En cualquier momento la altura de la forma de la cabeza de tambor en un punto en medida desde el "todavía" forma de la cabeza de tambor se denota por lo que puede llevar tanto valores positivos y negativos. Dejado denotar el límite de esto es, el círculo de radio centrado en el origen, que representa el bastidor rígido al que se fija la cabeza del tambor.
La ecuación matemática que gobierna la vibración del parche del tambor es la ecuación de onda con condiciones de límite cero,
