En la teoría bidimensional de campos conformados , los bloques conformales de Virasoro son funciones especiales que sirven como bloques de construcción de funciones de correlación . En una superficie de Riemann perforada dada , los bloques conformados de Virasoro forman una base particular del espacio de soluciones de las identidades de Ward conformadas . Los bloques de punto cero en el toro son personajes de representaciones del álgebra de Virasoro ; Los bloques de cuatro puntos en la esfera se reducen a funciones hipergeométricas en casos especiales, pero en general son mucho más complicados. En dos dimensiones como en otras dimensiones, los bloques conformales juegan un papel esencial en el bootstrap conformalaproximación a la teoría de campos conforme .
Definición
Definición de OPE
Usando expansiones de productos de operador (OPE), unLa función de punto en la esfera se puede escribir como una combinación de constantes de estructura de tres puntos y cantidades universales llamadas -punto de bloques conformados . [1] [2]
Dado un -función de punto, existen varios tipos de bloques conformes, dependiendo de qué OPE se utilicen. En el caso, hay tres tipos de bloques conformes, correspondientes a tres posibles descomposiciones de la misma función de cuatro puntos. Esquemáticamente, estas descomposiciones se leen
dónde son constantes de estructura y son bloques conformes. Las sumas son sobre representaciones del álgebra conforme que aparecen en el espectro de CFT. Los OPE implican sumas sobre el espectro, es decir, sobre representaciones y sobre estados en representaciones, pero las sumas sobre estados se absorben en los bloques conformes.
En dos dimensiones, el álgebra de simetría se factoriza en dos copias del álgebra de Virasoro, llamadas movimiento a la izquierda y movimiento a la derecha. Si los campos también se factorizan, entonces los bloques de conformación también se factorizan y los factores se denominan bloques de conformación de Virasoro . Los bloques conformados de Virasoro que se mueven a la izquierda son funciones localmente holomórficas de las posiciones de los campos.; Los bloques conformales de Virasoro que se mueven a la derecha son las mismas funciones de. La factorización de un bloque conformal en bloques conformales Virasoro es del tipo
dónde son representaciones de las álgebras de Virasoro que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente.
Definición de las identidades de los distritos de Virasoro
Las identidades de Ward conformadas son las ecuaciones lineales a las que obedecen las funciones de correlación, como resultado de la simetría conforme.
En dos dimensiones, las identidades de Ward conformes se descomponen en identidades de Virasoro Ward que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. Los bloques de conformación de Virasoro son soluciones de las identidades de Virasoro Ward. [3] [4]
Los OPE definen bases específicas de bloques conformados de Virasoro, como la base del canal s en el caso de bloques de cuatro puntos. Los bloques que se definen a partir de OPE son casos especiales de los bloques que se definen a partir de identidades de Ward.
Propiedades
Cualquier ecuación holomórfica lineal que sea obedecida por una función de correlación, también debe ser válida para los bloques conformes correspondientes. Además, las bases específicas de los bloques conformes vienen con propiedades adicionales que no se heredan de la función de correlación.
Los bloques conformales que involucran solo campos primarios tienen propiedades relativamente simples. Los bloques conformes que involucran campos descendientes se pueden deducir utilizando identidades de Ward locales . Un bloque de cuatro puntos de canal en S de campos primarios depende de las dimensiones de conformidad de los cuatro campos en sus posiciones y en la dimensión conforme del canal s . Puede escribirse comodonde la dependencia de la carga central del álgebra de Virasoro se mantiene implícita.
Ecuaciones lineales
De la función de correlación correspondiente, los bloques conformes heredan ecuaciones lineales: identidades de Ward globales y locales y ecuaciones BPZ si al menos un campo está degenerado. [2]
En particular, en un bloque de puntos en la esfera, las identidades globales de Ward reducen la dependencia del posiciones de campo a una dependencia de relaciones cruzadas . En el caso
dónde y
es la relación cruzada y el bloque reducido coincide con el bloque original donde se envían tres posiciones a
Singularidades
Al igual que las funciones de correlación, los bloques conformes son singulares cuando dos campos coinciden. A diferencia de las funciones de correlación, los bloques conformes tienen comportamientos muy simples en algunas de estas singularidades. Como consecuencia de su definición de OPE, los bloques de cuatro puntos de canal s obedecen
para algunos coeficientes Por otro lado, los bloques de canal s tienen comportamientos singulares complicados en : son bloques de canal t que son simples en y bloques de canal en U que son simples en
En un bloque de cuatro puntos que obedece a una ecuación diferencial BPZ ,son puntos singulares regulares de la ecuación diferencial, yes un exponente característico de la ecuación diferencial. Para una ecuación diferencial de orden, la exponentes característicos corresponden a la valores de que están permitidos por las reglas de fusión.
Permutaciones de campo
Permutaciones de los campos dejar la función de correlación
invariante, y por lo tanto relacionan diferentes bases de bloques conformes entre sí. En el caso de bloques de cuatro puntos, los bloques de canal t están relacionados con los bloques de canal s por [2]
o equivalente
Matriz de fusión
El cambio de bases de bloques de cuatro puntos de canal s a canal t se caracteriza por la matriz de fusión (o núcleo de fusión), tal que
La matriz de fusión es una función de la carga central y las dimensiones de conformación, pero no depende de las posiciones El momento se define en términos de la dimensión por
Los valores corresponden al espectro de la teoría de Liouville .
También necesitamos introducir dos parámetros relacionado con la carga central ,
Asumiendo y , la expresión explícita de la matriz de fusión es [5]
dónde es una función de doble gamma ,
Aunque su expresión es más simple en términos de que en términos de , la matriz de fusión es realmente una función de , es decir, una función de que es invariante bajo . En la expresión de la matriz de fusión, la integral es una integral de Barnes hiperbólica . Hasta la normalización, la matriz de fusión coincide con la función hipergeométrica de Ruijsenaars , con los argumentos y parámetros . [6]
En bloques de puntos en la esfera, el cambio de bases entre dos conjuntos de bloques que se definen a partir de diferentes secuencias de OPE siempre se puede escribir en términos de la matriz de fusión, y una matriz simple que describe la permutación de los dos primeros campos en bloque de canal s, [3]
Cálculo de bloques conformes
De la definición
La definición de OPE conduce a una expresión para un bloque conforme de cuatro puntos del canal s como una suma de estados en la representación del canal s, del tipo [7]
Las sumas están por encima de los modos de creación. del álgebra de Virasoro , es decir, combinaciones del tipo de generadores Virasoro con , cuyo nivel es . Dichos generadores corresponden a estados base en el módulo Verma con la dimensión conforme. El coeficiente es una función de , que se conoce explícitamente. El elemento de la matriz es una función de que se desvanece si , y diverge para si hay un vector nulo en el nivel . Hasta, esto dice
(En particular, no depende de la carga central .)
Representación recursiva de Zamolodchikov
En la representación recursiva de Alexei Zamolodchikov de bloques de cuatro puntos en la esfera, la relación cruzadaaparece a través del nombre
dónde es la función hipergeométrica , y usamos las funciones theta de Jacobi
La representación es del tipo
La función es una serie de potencias en, que se define de forma recursiva por
En esta fórmula, las posiciones de los polos son las dimensiones de las representaciones degeneradas, que corresponden a los momentos
Los residuos son dadas por
donde el superíndice en indica un producto que se ejecuta en incrementos de . La relación de recursividad parapuede resolverse, dando lugar a una fórmula explícita (pero poco práctica). [2] [8]
La representación recursiva puede verse como una expansión alrededor . A veces se le llama-recursión , para distinguirla de la-recursión : otra representación recursiva, también debida a Alexei Zamolodchikov , que se expande alrededor. Ambas representaciones se pueden generalizar a-punto de bloques conformados de Virasoro en superficies arbitrarias de Riemann . [9]
De la relación al conteo instantáneo
La relación de Alday-Gaiotto-Tachikawa entre la teoría de campo conforme bidimensional y la teoría de gauge supersimétrica, más específicamente, entre los bloques conformes de la teoría de Liouville y las funciones de partición de Nekrasov [10] de las teorías de gauge supersimétricas en cuatro dimensiones, conduce a expresiones combinatorias para conformales. bloques como sumas sobre diagramas de Young . Cada diagrama se puede interpretar como un estado en una representación del álgebra de Virasoro, multiplicado por un álgebra de Lie afín abeliana . [11]
Casos especiales
Bloques de punto cero en el toro
Un bloque de punto cero no depende de las posiciones del campo, pero depende de los módulos de la superficie de Riemann subyacente . En el caso del toro
que la dependencia se escribe mejor a través y el bloque de punto cero asociado a una representación del álgebra de Virasoro es
dónde es un generador del álgebra de Virasoro. Esto coincide con el carácter deLos personajes de algunas representaciones de mayor peso son: [1]
- Módulo Verma con dimensión conforme:
- dónde es la función eta de Dedekind .
- Representación degenerada con el impulso :
- Representación completamente degenerada a nivel racional :
Los personajes se transforman linealmente bajo las transformaciones modulares :
En particular su transformación bajo se describe mediante la matriz S modular . Usando la matriz S, las restricciones en el espectro de un CFT se pueden derivar de la invariancia modular de la función de partición del toro, lo que lleva en particular a la clasificación ADE de modelos mínimos . [12]
Bloques hipergeométricos
Para una función de cuatro puntos en la esfera
donde un campo tiene un vector nulo en el nivel dos, la ecuación BPZ de segundo orden se reduce a la ecuación hipergeométrica. Una base de soluciones está formada por los dos bloques conformes de canal s permitidos por las reglas de fusión, y estos bloques se pueden escribir en términos de la función hipergeométrica ,
con Otra base está hecha de los dos bloques de conformación de canal t,
La matriz de fusión es la matriz de tamaño dos tal que
cuya expresión explícita es
Los bloques conformes hipergeométricos juegan un papel importante en el enfoque de bootstrap analítico para CFT bidimensional. [13] [14]
Bloques de un punto en el toro de bloques de cuatro puntos en la esfera
Un bloque arbitrario de un punto en el toro puede escribirse en términos de un bloque de cuatro puntos en la esfera con una carga central diferente. Esta relación asigna el módulo del toro a la relación cruzada de las posiciones de los cuatro puntos, y tres de los cuatro campos de la esfera tienen el momento fijo: [15] [16]
dónde
- es el factor no trivial del bloque de cuatro puntos de la esfera en las representaciones recursivas de Zamolodchikov, escrito en términos de momentos en lugar de dimensiones .
- es el factor no trivial del bloque de un punto del toro , dónde es la función eta de Dedekind , el parámetro modular del toro es tal que , y el campo en el toro tiene la dimensión .
Soluciones de la ecuación de Painlevé VI
Si entonces, ciertas combinaciones lineales de bloques conformados de canal s son soluciones de la ecuación diferencial no lineal de Painlevé VI . [17] Las combinaciones lineales relevantes involucran sumas sobre conjuntos de momentos del tipoEsto permite deducir bloques conformes a partir de soluciones de la ecuación de Painlevé VI y viceversa. Esto también conduce a una fórmula relativamente simple para la matriz de fusión en[18] Curiosamente, elEl límite de bloques conformes también está relacionado con la ecuación de Painlevé VI. [19] La relación entre el y el Los límites, lo cual es misterioso en el lado de la teoría de campo conforme, se explica naturalmente en el contexto de las teorías de calibre de cuatro dimensiones, utilizando ecuaciones ampliadas.
Generalizaciones
Otras representaciones del álgebra de Virasoro
Los bloques conformales de Virasoro que se describen en este artículo están asociados a un cierto tipo de representaciones del álgebra de Virasoro: representaciones de mayor peso, en otras palabras, módulos Verma y sus clases laterales. [2] Las funciones de correlación que involucran otros tipos de representaciones dan lugar a otros tipos de bloques conformes. Por ejemplo:
- La teoría de campo logarítmico conforme implica representaciones donde el generador de Virasoro no es diagonalizable, lo que da lugar a bloques que dependen logarítmicamente de las posiciones del campo.
- Se pueden construir representaciones a partir de estados en los que algunos modos de aniquilación del álgebra de Virasoro actúan en diagonal, en lugar de desaparecer. Los bloques conformes correspondientes se han denominado bloques conformes irregulares . [20]
Álgebras de simetría más grandes
En una teoría cuyo álgebra de simetría es más grande que el álgebra de Virasoro, por ejemplo, un modelo WZW o una teoría con simetría W , las funciones de correlación pueden en principio descomponerse en bloques conformales de Virasoro, pero esa descomposición generalmente involucra demasiados términos para ser útil. En su lugar, es posible utilizar bloques conformales basados en el álgebra mayor: por ejemplo, en un modelo WZW, bloques conformales basados en el álgebra de Lie afín correspondiente , que obedecen a las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov .
Referencias
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