En la teoría cuántica de campos , la expansión del producto del operador ( OPE ) se utiliza como axioma para definir el producto de los campos como una suma sobre los mismos campos. Como axioma, ofrece un enfoque no perturbativo de la teoría cuántica de campos. Un ejemplo es el álgebra del operador de vértice , que se ha utilizado para construir teorías bidimensionales de campos conformes . Si este resultado puede extenderse a QFT en general, resolviendo así muchas de las dificultades de un enfoque perturbador, sigue siendo una cuestión de investigación abierta.
En cálculos prácticos, como los necesarios para dispersar las amplitudes en varios experimentos de colisionadores, la expansión del producto del operador se utiliza en las reglas de suma de QCD para combinar los resultados de los cálculos tanto perturbativos como no perturbativos (condensado).
Teoría de campos cuánticos euclidianos 2D
En la teoría de campo euclidiana 2D, la expansión del producto del operador es una expansión de la serie Laurent asociada a dos operadores. Una serie de Laurent es una generalización de la serie de Taylor en el sentido de que se añaden un número finito de potencias de la inversa de las variables de expansión a la serie de Taylor: se añaden polos de orden finito a la serie.
Heurísticamente, en la teoría cuántica de campos uno está interesado en el resultado de observables físicos representados por operadores . Si uno quiere saber el resultado de hacer dos observaciones físicas en dos puntos y , uno puede ordenar estos operadores en el tiempo cada vez mayor.
Si uno mapea las coordenadas de una manera conforme, a menudo le interesa el orden radial. Este es el análogo de la ordenación del tiempo donde el tiempo creciente se ha mapeado a un radio creciente en el plano complejo. Uno también está interesado en el orden normal de los operadores de creación.
Un OPE de orden radial se puede escribir como un OPE de orden normal menos los términos de orden no normal. Los términos ordenados no normales a menudo se pueden escribir como un conmutador , y estos tienen identidades simplificadoras útiles. El ordenamiento radial proporciona la convergencia de la expansión.
El resultado es una expansión convergente del producto de dos operadores en términos de algunos términos que tienen polos en el plano complejo (los términos de Laurent) y términos que son finitos. Este resultado representa la expansión de dos operadores en dos puntos diferentes como una expansión alrededor de un solo punto, donde los polos representan donde los dos puntos diferentes son el mismo punto, p. Ej.
- .
Relacionado con esto es que un operador en el plano complejo se escribe en general como una función de y . Estos se conocen como partes holomórficas y anti-holomórficas respectivamente, ya que son continuas y diferenciables excepto en el (número finito de) singularidades. Uno realmente debería llamarlos meromórficos , pero holomorfos es un lenguaje común. En general, la expansión del producto del operador no puede separarse en partes holomórficas y anti-holomórficas, especialmente si haytérminos en la expansión. Sin embargo, los derivados del OPE a menudo pueden separar la expansión en expansiones holomórficas y anti-holomórficas. Esta expresión también es un OPE y, en general, es más útil.
Álgebra de productos del operador
En el caso genérico, se le da a uno un conjunto de campos (u operadores) que se supone que se valoran por encima de algún álgebra . Por ejemplo, fijando x , elpuede tomarse para abarcar algo de álgebra de Lie . Liberando x para vivir en un colector, el producto del operadores entonces simplemente algún elemento en el anillo de funciones . En general, estos anillos no poseen la estructura suficiente para hacer declaraciones significativas; por tanto, se consideran axiomas adicionales para fortalecer el sistema.
El álgebra del producto operador es un álgebra asociativa de la forma
Las constantes de estructura deben ser funciones de un solo valor, en lugar de secciones de algún paquete de vectores . Además, los campos deben abarcar el anillo de funciones. En los cálculos prácticos, generalmente se requiere que las sumas sean analíticas dentro de algún radio de convergencia ; típicamente con un radio de convergencia de. Por tanto, el anillo de funciones puede tomarse como el anillo de funciones polinomiales .
Lo anterior puede verse como un requisito que se impone a un anillo de funciones; imponer este requisito en los campos de una teoría de campo conforme se conoce como bootstrap conforme .
Un ejemplo de álgebra de producto de operador es el álgebra de operador de vértice . Actualmente se espera que las álgebras de productos de operador puedan usarse para axiomatizar toda la teoría cuántica de campos; lo han hecho con éxito para las teorías de campo conforme, y si se pueden utilizar como base para QFT no perturbativas es un área de investigación abierta.
Expansión del producto del operador
En la teoría cuántica de campos , la expansión del producto del operador ( OPE ) es una expansión convergente del producto de dos campos en diferentes puntos como una suma (posiblemente infinita) de campos locales.
Más precisamente, si es un punto, y y son campos valorados por el operador , entonces hay un vecindario abierto de tal que para todos
donde la suma está sobre muchos términos finitos o contables, C i son campos con valores de operador, c i son funciones analíticas sobrey la suma es convergente en la topología del operador dentro de.
Los OPE se utilizan con mayor frecuencia en la teoría de campos conforme .
La notación se usa a menudo para denotar que la diferencia G (x, y) -F (x, y) permanece analítica en los puntos x = y. Esta es una relación de equivalencia .