En el análisis real y la teoría de la medida , el teorema de convergencia de Vitali , que lleva el nombre del matemático italiano Giuseppe Vitali , es una generalización del teorema de convergencia dominado más conocido de Henri Lebesgue . Es una caracterización de la convergencia en L p en términos de convergencia en la medida y una condición relacionada con la integrabilidad uniforme .
Definiciones preliminaresDejar ser un espacio de medida, es decir es una función establecida tal que y es contablemente aditivo. Todas las funciones consideradas en la secuela serán funciones, dónde o . Adoptamos las siguientes definiciones de acuerdo con la terminología de Bogachev. [1]
- Un conjunto de funciones se llama uniformemente integrable si, es decir .
- Un conjunto de funciones se dice que tiene integrales uniformemente absolutamente continuas si, es decir . Esta definición se utiliza a veces como una definición de integrabilidad uniforme. Sin embargo, difiere de la definición de integrabilidad uniforme dada anteriormente.
Cuándo , un conjunto de funciones es uniformemente integrable si y solo si está acotado en y tiene integrales uniformemente absolutamente continuas. Si, además, no tiene átomos, entonces la integrabilidad uniforme es equivalente a la continuidad absoluta uniforme de integrales.
Caso de medida finitaDejar ser un espacio de medida con . Dejar y frijol -función medible. Entonces los siguientes son equivalentes :
- y converge a en ;
- La secuencia de funciones converge en -medida para y es uniformemente integrable;
Para una prueba, consulte la monografía de Bogachev "Teoría de la medida, Volumen I". [1]
Caso de medida infinitaDejar ser un espacio de medida y . Dejar y . Luego, converge a en si y solo si se cumple lo siguiente:
- La secuencia de funciones converge en -medida para ;
- tiene integrales uniformemente absolutamente continuas;
- Para cada , existe tal que y
Cuándo , la tercera condición se vuelve superflua (uno simplemente puede tomar ) y las dos primeras condiciones dan la forma habitual del teorema de convergencia de Lebesgue-Vitali originalmente establecido para espacios de medida con medida finita. En este caso, se puede demostrar que las condiciones 1 y 2 implican que la secuencia es uniformemente integrable.
Inverso del teoremaDejar ser espacio de medida. Dejar y asumir que existe para cada . Entonces, la secuencia está delimitado en y tiene integrales uniformemente absolutamente continuas. Además, existe tal que para cada .
Cuándo , esto implica que es uniformemente integrable.
Para una prueba, consulte la monografía de Bogachev "Teoría de la medida, Volumen I". [1]
Citas- ↑ a b c Bogachev, Vladimir I. (2007). Medir Volumen I Teoría . Nueva York: Springer. págs. 267-271. ISBN 978-3-540-34513-8.