En matemáticas, la integrabilidad uniforme es un concepto importante en el análisis real , el análisis funcional y la teoría de la medida , y juega un papel vital en la teoría de las martingalas . La definición utilizada en la teoría de la medida está estrechamente relacionada, pero no es idéntica, a la definición que se utiliza habitualmente en probabilidad.
Definición de la teoría de la medida
Los libros de texto sobre análisis real y teoría de la medida suelen utilizar la siguiente definición. [1] [2]
Dejar ser un espacio de medida positiva. Un conjuntose llama uniformemente integrable si para cada corresponde un tal que
cuando sea y
Definición de probabilidad
En la teoría de la probabilidad, se aplica la siguiente definición. [3] [4] [5]
- Una clase de variables aleatorias se llama uniformemente integrable (UI) si se da, existe tal que , dónde es la función del indicador
- Se puede presentar una definición alternativa que incluya dos cláusulas de la siguiente manera: Una clase de variables aleatorias se llama integrable uniformemente si:
- Existe un finito tal que, por cada en , y
- Para cada existe tal que, por cada mensurable tal que y cada en , .
Las dos definiciones probabilísticas son equivalentes. [6]
Relación entre definiciones
Las dos definiciones están estrechamente relacionadas. Un espacio de probabilidad es un espacio de medida con medida total 1. Una variable aleatoria es una función medible de valor real en este espacio, y la expectativa de una variable aleatoria se define como la integral de esta función con respecto a la medida de probabilidad. [7] Específicamente,
Dejar ser un espacio de probabilidad. Deje que la variable aleatoria ser un valioso -función medible. Entonces la expectativa de es definido por
siempre que exista la integral.
Entonces, la definición probabilística alternativa anterior se puede reescribir en términos teóricos de medida como: Un conjunto de funciones de valor real se llama uniformemente integrable si:
- Existe un finito tal que, por cada en , .
- Para cada existe tal que, por cada mensurable tal que y por cada en , .
La comparación de esta definición con la definición de la teoría de la medida dada anteriormente muestra que la definición de la teoría de la medida solo requiere que cada función esté en . En otras palabras, es finito para cada uno , pero no necesariamente hay un límite superior para los valores de estas integrales. Por el contrario, la definición probabilística requiere que las integrales tengan un límite superior.
Una consecuencia de esto es que las variables aleatorias integrables uniformemente (bajo la definición probabilística) son ajustadas . Es decir, para cada, existe tal que
para todos . [8]
Por el contrario, las funciones integrables uniformemente (según la definición de la teoría de la medida) no son necesariamente estrictas. [9]
En su libro, Bass usa el término uniformemente absolutamente continuo para referirse a conjuntos de variables aleatorias (o funciones) que satisfacen la segunda cláusula de la definición alternativa. Sin embargo, esta definición no requiere que cada una de las funciones tenga una integral finita. [10] El término "continuidad absoluta uniforme" no es estándar, pero algunos otros autores lo utilizan. [11] [12]
Corolarios relacionados
Los siguientes resultados se aplican a la definición probabilística. [13]
- La definición 1 podría reescribirse tomando los límites como
- Una secuencia sin interfaz de usuario. Dejary definir
- Claramente , y de hecho para todos n . Sin emabargo,
- y comparando con la definición 1, se ve que la secuencia no es uniformemente integrable.
- Al usar la Definición 2 en el ejemplo anterior, se puede ver que la primera cláusula se satisface como norma de todos s son 1, es decir, acotados. Pero la segunda cláusula no se mantiene como dada positivo, hay un intervalo con medida menor que y para todos .
- Si es una variable aleatoria de IU , dividiendo
- y acotando cada uno de los dos, se puede ver que una variable aleatoria uniformemente integrable siempre está acotada en .
- Si alguna secuencia de variables aleatorias está dominado por un integrable, no negativo : es decir, para todo ω y n ,
- luego la clase de variables aleatorias es uniformemente integrable.
- Una clase de variables aleatorias acotadas en () es uniformemente integrable.
Teoremas relevantes
A continuación, usamos el marco probabilístico, pero independientemente de la finitud de la medida, agregando la condición de acotación en el subconjunto elegido de .
- Una clase de variables aleatorias es uniformemente integrable si y solo si es relativamente compacto para la topología débil.
- teorema de la Vallée-Poussin [16] [17]
- La familia es uniformemente integrable si y solo si existe una función convexa creciente no negativa tal que
Relación con la convergencia de variables aleatorias
- Una secuencia converge a en el norma si y solo si converge en medida ay es uniformemente integrable. En términos de probabilidad, una secuencia de variables aleatorias que convergen en probabilidad también convergen en la media si y solo si son uniformemente integrables. [18] Ésta es una generalización del teorema de convergencia dominado de Lebesgue , véase el teorema de convergencia de Vitali .
Citas
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Referencias
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- Diestel, J. y Uhl, J. (1977). Medidas vectoriales , Encuestas Matemáticas 15, Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1