Sistema dinámico que preserva las medidas

En matemáticas , un sistema dinámico que preserva la medida es un objeto de estudio en la formulación abstracta de sistemas dinámicos , y la teoría ergódica en particular. Los sistemas de preservación de medidas obedecen al teorema de recurrencia de Poincaré y son un caso especial de sistemas conservadores . Proporcionan la base matemática formal para una amplia gama de sistemas físicos y, en particular, muchos sistemas de la mecánica clásica (en particular, la mayoría de los sistemas no disipativos ) así como los sistemas en equilibrio termodinámico .

Un sistema dinámico que preserva la medida se define como un espacio de probabilidad y una transformación que preserva la medida en él. Más detalladamente, es un sistema

Uno puede preguntarse por qué la medida que preserva la transformación se define en términos de la transformación inversa en lugar de la transformación hacia adelante . Esto se puede entender de una manera bastante sencilla. Considere un mapeo de conjuntos de potencias :${\ Displaystyle \ mu (T ^ {- 1} (A)) = \ mu (A)}$${\ Displaystyle \ mu (T (A)) = \ mu (A)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Consideremos ahora el caso especial de los mapas que conservan intersecciones, uniones y complementos (por lo que es un mapa de conjuntos de Borel ) y también envía a (porque queremos que sea conservador ). Cada uno de estos mapas conservadores que conservan Borel puede especificarse por escrito mediante algún mapa sobreyectivo . Por supuesto, también se podría definir , pero esto no es suficiente para especificar todos esos mapas posibles . Es decir, los mapas conservadores que conservan Borel no pueden, en general, escribirse en la forma ¡Obviamente! uno podría decir; considérese, por ejemplo, el mapa del intervalo unitario dado por este es el mapa de Bernoulli .${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle T: X \ a X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T ^ {- 1} (A)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T (A)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T (A).}$${\ Displaystyle T: [0,1) \ a [0,1)}$${\ Displaystyle x \ mapsto 2x \ mod 1;}$

Ejemplo de mapa de conservación ( medida de Lebesgue ): T  : [0,1) → [0,1),${\ Displaystyle x \ mapsto 2x \ mod 1.}$