En teoría de números , el teorema de von Staudt-Clausen es un resultado que determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli , encontrado independientemente por Karl von Staudt ( 1840 ) y Thomas Clausen ( 1840 ).
Específicamente, si n es un número entero positivo y agregamos 1 / p al número de Bernoulli B 2 n para cada primo p tal que p - 1 divide 2 n , obtenemos un número entero, es decir,
Este hecho nos permite inmediatamente caracterizar los denominadores de los números de Bernoulli distintos de cero B 2 n como el producto de todos los primos p tales que p - 1 divide 2 n ; en consecuencia, los denominadores son libres de cuadrados y divisibles entre 6.
Estos denominadores son
Prueba
Una demostración del teorema de Von Staudt-Clausen se deriva de una fórmula explícita para los números de Bernoulli que es:
y como corolario:
dónde son los números de Stirling del segundo tipo .
Además, se necesitan los siguientes lemas:
Sea p un número primo, entonces
1 . Si p-1 divide 2n entonces,
2 . Si p-1 no divide 2n entonces,
Prueba de (1) y (2) : Uno tiene del pequeño teorema de Fermat ,
por .
Si p-1 divide 2n, entonces uno tiene,
por .
A partir de entonces uno tiene,
del cual (1) se sigue inmediatamente.
Si p-1 no divide 2n , luego del teorema de Fermat, uno tiene,
Si uno deja ( Función de número entero más grande ) luego, después de la iteración, uno tiene,
por y .
A partir de entonces uno tiene,
El lema (2) ahora se sigue de lo anterior y del hecho de que S ( n , j ) = 0 para j > n .
(3) . Es fácil deducir que para a> 2 yb> 2, ¡ab divide (ab-1)! .
(4). Los números de Stirling de segundo tipo son números enteros .
Demostración del teorema : Ahora estamos listos para demostrar el teorema de Von-Staudt Clausen,
si j + 1 es compuesto y j> 3 entonces de (3), j + 1 divide j !.
Para j = 3,
Si j + 1 es primo, usamos (1) y (2) y si j + 1 es compuesto, usamos (3) y (4) para deducir:
dónde es un número entero, que es el teorema de Von-Staudt Clausen. [1] [2]
Ver también
Referencias
- Clausen, Thomas (1840), "Teorema", Astronomische Nachrichten , 17 (22): 351–352, doi : 10.1002 / asna.18400172204
- Rado, R. (1934), "Una nueva prueba de un teorema de V. Staudt", J. London Math. Soc. , 9 (2): 85–88, doi : 10.1112 / jlms / s1-9.2.85
- von Staudt, cap. (1840), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 21 : 372–374, ISSN 0075-4102 , ERAM 021.0672cj