En teoría de la probabilidad , la Vysochanskij- Petunin desigualdad da un límite inferior para la probabilidad de que una variable aleatoria con finitos de la varianza está dentro de un cierto número de desviaciones estándar de la variable de media , o equivalentemente un límite superior para la probabilidad de que se encuentra más lejos. Las únicas restricciones sobre la distribución son que sea unimodal y tenga una varianza finita . (Esto implica que es una distribución de probabilidad continua excepto en la moda, que puede tener una probabilidad distinta de cero). El teorema se aplica incluso a distribuciones muy sesgadas y pone límites a la cantidad de datos que están o no "en el medio". [ cita requerida ]
Teorema
Sea X una variable aleatoria con distribución unimodal, media μ y varianza finita distinta de cero σ 2 . Entonces, para cualquier
(Para una prueba relativamente elemental, véase, por ejemplo, [1] ). Además, la igualdad se logra para una variable aleatoria que tiene una probabilidad 1 - 4 / (3 λ 2 ) de ser exactamente igual a la media, y que, cuando no es igual a la media, se distribuye uniformemente en un intervalo centrado en el significado. Cuándoexisten distribuciones no simétricas para las cuales el se supera el límite.
Propiedades
El teorema refina la desigualdad de Chebyshev al incluir el factor de 4/9, hecho posible por la condición de que la distribución sea unimodal.
Es común, en la construcción de gráficos de control y otras heurísticas estadísticas, establecer λ = 3 , correspondiente a un límite de probabilidad superior de 4/81 = 0.04938 ..., y construir límites 3-sigma para limitar casi todos (es decir, 95%) de los valores de una salida de proceso. Sin unimodalidad la desigualdad de Chebyshev daría un perdedor con destino de 1/9 = 0,11111 ... .
Ver también
- La desigualdad de Gauss , un resultado similar para la distancia desde la moda en lugar de la media
- Regla de tres (estadísticas) , un resultado similar para la distribución de Bernoulli
Referencias
- DF Vysochanskij, YI Petunin (1980). "Justificación de la regla 3σ para distribuciones unimodales". Teoría de la probabilidad y estadística matemática . 21 : 25–36.
- Informe (sobre el diagnóstico de cáncer) de Petunin y otros que declaran el teorema en inglés