En estadística , una distribución de probabilidad simétrica es una distribución de probabilidad —una asignación de probabilidades a posibles ocurrencias— que no cambia cuando su función de densidad de probabilidad o función de masa de probabilidad se refleja alrededor de una línea vertical en algún valor de la variable aleatoria representada por la distribución. Esta línea vertical es la línea de simetría de la distribución. Por lo tanto, la probabilidad de estar a cualquier distancia dada en un lado del valor sobre el cual ocurre la simetría es la misma que la probabilidad de estar a la misma distancia en el otro lado de ese valor.
Definicion formal
Se dice que una distribución de probabilidad es simétrica si y solo si existe un valor tal que
- para todos los números reales
donde f es la función de densidad de probabilidad si la distribución es continua o la función de masa de probabilidad si la distribución es discreta .
Distribuciones multivariadas
El grado de simetría, en el sentido de simetría especular, se puede evaluar cuantitativamente para distribuciones multivariadas con el índice quiral, que toma valores en el intervalo [0; 1], y que es nulo si y solo si la distribución es simétrica especular. [1] Por lo tanto, una distribución d-variada se define como simétrica en espejo cuando su índice quiral es nulo. La distribución puede ser discreta o continua, y no se requiere la existencia de una densidad, pero la inercia debe ser finita y no nula. En el caso univariado, este índice se propuso como una prueba de simetría no paramétrica. [2]
Para esférico simétrico continuo, Mir M. Ali dio la siguiente definición. Dejar denotar la clase de distribuciones esféricamente simétricas del tipo absolutamente continuo en el espacio euclidiano n-dimensional que tiene densidad conjunta de la forma dentro de una esfera con centro en el origen con un radio prescrito que puede ser finito o infinito y cero en cualquier otro lugar. [3]
Propiedades
- La mediana y la media (si existe) de una distribución simétrica ocurren en el punto sobre el que se produce la simetría.
- Si una distribución simétrica es unimodal , la moda coincide con la mediana y la media.
- Todos los momentos centrales impares de una distribución simétrica son iguales a cero (si existen), porque en el cálculo de tales momentos los términos negativos que surgen de las desviaciones negativas de Equilibrar exactamente los términos positivos que surgen de desviaciones positivas iguales de .
- Cada medida de asimetría es igual a cero para una distribución simétrica.
Función de densidad de probabilidad
Normalmente, la función de densidad de probabilidad de una distribución continua simétrica contiene el valor del índice solo en el contexto de un término dónde es un número entero positivo (generalmente 1). Este término cuadrático u otro de potencia uniforme adquiere el mismo valor para como para , dando simetría sobre . A veces, la función de densidad contiene el término, que también muestra simetría sobre
Caso unimodal
Lista parcial de ejemplos
Las siguientes distribuciones son simétricas para todas las parametrizaciones. (Muchas otras distribuciones son simétricas para una parametrización particular).
- Distribución de arcoseno
- Distribución Bates
- Distribución de Cauchy
- Distribución de Champernowne
- Distribución uniforme continua
- Distribución degenerada
- Distribución uniforme discreta
- Distribuciones elípticas
- Distribución q gaussiana
- Distribución normal generalizada
- Distribución hiperbólica con parámetro de asimetría igual a cero
- Distribución secante hiperbólica
- Distribución Irwin-Hall
- Distribución de Laplace
- Distribución logística
- Distribución normal
- Distribución normal-exponencial-gamma
- Distribución de Rademacher
- Distribución de coseno elevado
- Distribución t de Student
- Distribución de tukey lambda
- Distribución U-cuadrática
- Distribución de Voigt
- distribución de von Mises
- Distribución de semicírculo de Wigner
Referencias
- ^ Petitjean, M. (2002). "Mezclas quirales" (PDF) . Revista de Física Matemática . 43 (8): 4147–4157. doi : 10.1063 / 1.1484559 .
- ^ Petitjean, M (2020). "Tablas de cuantiles de la distribución del índice quiral empírico en el caso de la ley uniforme y en el caso de la ley normal". arXiv : 2005.09960 [ stat.ME ].
- ^ Ali, Mir M. (1980). "Caracterización de la distribución normal entre la clase esférica simétrica continua". Revista de la Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica) . 42 (2): 162-164. doi : 10.1111 / j.2517-6161.1980.tb01113.x . JSTOR 2984955 .