Pettis integral

En matemáticas , la integral de Pettis o integral de Gelfand-Pettis , llamada así por Israel M. Gelfand y Billy James Pettis , amplía la definición de la integral de Lebesgue a funciones con valores vectoriales en un espacio de medida , explotando la dualidad . Gelfand introdujo la integral para el caso en que el espacio de medida es un intervalo con la medida de Lebesgue . La integral también se llama integral débil en contraste con la integral de Bochner , que es la integral fuerte.

Sea where es un espacio de medida y es un espacio vectorial topológico (TVS) con un espacio dual continuo que separa puntos (es decir, si es distinto de cero, entonces hay algo que ), por ejemplo, es un espacio normado o (más generalmente) es un Hausdorff localmente. TVS convexos . La evaluación de un funcional puede escribirse como un emparejamiento de dualidad : ${\ Displaystyle f: X \ to V}$ ${\ Displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V '}$ ${\ Displaystyle x \ in V}$ ${\ Displaystyle l \ in V '}$ ${\ Displaystyle l (x) \ neq 0}$ ${\ Displaystyle V}$

El mapa se denomina débilmente mensurable si, para todos , el mapa con valores escalares es un mapa mensurable . Se dice que un mapa débilmente mensurable es débilmente integrable si existe alguno tal que, para todos , el mapa escalar es integrable de Lebesgue (es decir, ) y ${\ Displaystyle f: X \ to V}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ in V '}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ circ f}$ ${\ Displaystyle f: X \ to V}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle e \ in V}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ in V '}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ circ f}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ circ f \ in L ^ {1} \ left (X, \ Sigma, \ mu \ right)}$