En el campo del análisis funcional , un subcampo de las matemáticas , un sistema dual , un par dual o una dualidad sobre un campo. ( es el número real o el complejo) es un triple que consta de dos espacios vectoriales sobre y un mapa bilineal tal que para todos los distintos de cero el mapa no es idénticamente y para todos los distintos de cero el mapa no es idénticamente 0. El estudio de los sistemas duales se llama teoría de la dualidad .
Según Helmut H. Schaefer , "el estudio de un espacio localmente convexo en términos de su dual es la parte central de la teoría moderna de los espacios vectoriales topológicos , ya que proporciona los resultados más profundos y hermosos del tema". [1]
Definición, notación y convenciones
Emparejamientos
A emparejamiento o unparsobre uncampo es un triple que también puede ser denotado por que consta de dos espacios vectoriales y encima (que este artículo asume que son los números realeso los números complejos) y es un mapa bilinealque se denomina mapa bilineal asociado con el emparejamiento [2] o simplemente mapa / forma bilineal del emparejamiento .
Para cada definir
y por cada definir
Cada es un funcional lineal en y cada es un funcional lineal en Dejar
donde cada uno de estos conjuntos forma un espacio vectorial de funcionales lineales.
Es una práctica común escribir en vez de en cuyo caso el par a menudo se denota por en vez de Sin embargo, este artículo se reserva el uso de para el mapa de evaluación canónica (definido a continuación) para evitar confusiones a los lectores que no estén familiarizados con este tema.
Emparejamiento / sistema dual
Un maridaje se llama un sistema dual , unpar doble , [3] o undualidad sobre si la forma bilineal es no degenerado , lo que significa que satisface los siguientes dos axiomas de separación:
separa / distingue puntos de : Si es tal que luego ; o de manera equivalente, para todos los que no sean cero el mapa no es idénticamente (es decir, existe un tal que ;
separa / distingue puntos de : Si es tal que luego ; o de manera equivalente, para todos los que no sean cero el mapa no es idénticamente (es decir, existe un tal que
En este caso di que es no degenerado , di quelugares y en dualidad (o en dualidad separada ), yse llama el emparejamiento de dualidad del[2] [3]
Subconjuntos totales
Un subconjunto de se llama total si por cada
implica Un subconjunto total de se define de forma análoga (véase la nota a pie de página). [nota 1]
Ortogonalidad
Los vectores y son llamados ortogonal , escrito Si Dos subconjuntos y son ortogonales , escritos Si ; eso es, si para todos y La definición de un subconjunto que es ortogonal a un vector se define de forma análoga.
A lo largo de, será un emparejamiento sobre El polar absoluto o polar de un subconjunto de es el conjunto: [4]
Dually, el polar absoluto o polar de un subconjunto de se denota por y definido por
En este caso, el polar absoluto de un subconjunto de también se llama prepolar absoluto o prepolar de y puede ser denotado por
El polar es necesariamente un conjunto convexo que contiene donde si está equilibrado, entonces también lo está y si es un subespacio vectorial de entonces también lo es un subespacio vectorial de [5]
Si entonces el bipolar de denotado por es el set Del mismo modo, si entonces el bipolar de es
Si es un subespacio vectorial de luego y esto también es igual al polar real de
Definiciones y resultados duales
Dado un emparejamiento definir una nueva pareja dónde para todos [2]
Hay un tema que se repite en la teoría de la dualidad, que es que cualquier definición de emparejamiento tiene una definición dual correspondiente para el emparejamiento
Convención y definición : dada cualquier definición de pareja se obtiene una definición dual aplicándola al emparejamiento Estas convenciones también se aplican a los teoremas.
Convención : adherirse a la práctica común, a menos que se necesite claridad, siempre que una definición (o resultado) para un emparejamiento Se da entonces este artículo omitirá la mención de la correspondiente definición dual (o resultado) pero no obstante la usará.
Por ejemplo, si " distingue puntos de "(resp," es un subconjunto total de ") se define como anteriormente, entonces esta convención produce inmediatamente la definición dual de" distingue puntos de "(resp," es un subconjunto total de ").
Esta siguiente notación es casi ubicua y nos permite evitar tener que asignar un símbolo a
Convención y notación : si una definición y su notación para un emparejamiento depende del orden de y (por ejemplo, la definición de la topología Mackey en ) luego cambiando el orden de y entonces significa que la definición se aplica a (p.ej en realidad denota la topología ).
Por ejemplo, una vez que la topología débil en está definido, que se denota por entonces esta definición se aplicará automáticamente al emparejamiento para obtener la definición de la topología débil en donde esta topología será denotada por en vez de
Identificacion de con
Aunque es técnicamente incorrecto y un abuso de notación, este artículo también se adherirá a la siguiente convención casi omnipresente de tratar un emparejamiento indistintamente con y tambien de denotar por
Ejemplos de
Restricción de un emparejamiento
Suponer que es una pareja, es un subespacio vectorial de y es un subespacio vectorial de Entonces la restricción de a es el emparejamiento Si es una dualidad, entonces es posible que una restricción no sea una dualidad (por ejemplo, si y ).
Este artículo utilizará la práctica común de denotar la restricción por
Dualidad canónica en un espacio vectorial
Suponer que es un espacio vectorial y deja denotar el espacio dual algebraico de (es decir, el espacio de todos los funcionales lineales en ). Hay una dualidad canónica dónde que se llama mapa de evaluación o funcional bilineal natural o canónico en Tenga en cuenta en particular que para cualquier es solo otra forma de denotar ; es decir
Si es un subespacio vectorial de entonces la restricción de a se llama emparejamiento canónico, donde si este emparejamiento es una dualidad, en cambio se llama dualidad canónica . Claramente, siempre distingue puntos de por lo que el emparejamiento canónico es un sistema dual si y solo si separa puntos de La siguiente notación es ahora casi omnipresente en la teoría de la dualidad.
El mapa de evaluación se indicará con (en lugar de por ) y será escrito en lugar de
Supuesto : Como es práctica común, si es un espacio vectorial y es un espacio vectorial de funcionales lineales en entonces, a menos que se indique lo contrario, se asumirá que están asociados con el emparejamiento canónico
Si es un subespacio vectorial de luego distingue puntos de (o equivalente, es una dualidad) si y solo si distingue puntos de o equivalentemente si es total (es decir, para todos implica ). [2]
Dualidad canónica en un espacio vectorial topológico
Suponer es un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo Entonces la restricción de la dualidad canónica a × define un emparejamiento para cual separa puntos de Si separa puntos de (que es cierto si, por ejemplo, es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces este emparejamiento forma una dualidad. [3]
Supuesto : como se hace comúnmente, siempre que es un TVS, a menos que se indique lo contrario, se asumirá sin comentarios que está asociado con el emparejamiento canónico
Polares y duales de TVS
El siguiente resultado muestra que los funcionales lineales continuos en un TVS son exactamente aquellos funcionales lineales que están delimitados en una vecindad del origen.
Teorema [2] - Sea ser un televisor con dual algebraico y deja ser una base de barrios de Al origen. Bajo la dualidad canónica el continuo espacio dual de es la unión de todos como se extiende sobre (donde se toman los polares ).
Espacios interiores de producto y espacios conjugados complejos
Si es un espacio real de Hilbert entonces forma un sistema dual.
Si es un espacio de Hilbert complejo , entonces forma un sistema dual si y solo si Si no es trivial entonces ni siquiera forma emparejamiento, ya que el producto interno es sesquilíneo en lugar de bilineal. [2]
Suponer que es un espacio complejo anterior a Hilbert con la multiplicación denotada por yuxtaposición o por un punto Definir el mapa
donde el lado derecho usa la multiplicación escalar de Dejar denotar el complejo espacio vectorial conjugado de dónde denota el grupo aditivo de (así que la suma de vectores en es idéntica a la suma de vectores en ) pero con multiplicación escalar en siendo el mapa en lugar de la multiplicación escalar que está dotado de.
El mapa definido por es lineal en ambas coordenadas [nota 2], por lo que forma un emparejamiento dual.
Otros ejemplos
Suponer y
Luego es un emparejamiento tal que distingue puntos de pero no distingue puntos de Además,
Dejar (dónde es tal que ), y Luego es un sistema dual.
Dejar y ser espacios vectoriales sobre el mismo campo Entonces la forma bilineal lugares y en dualidad. [3]
Suponer que es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre Si luego la topología débil en Inducido por (y ) es la topología de TVS más débil en denotado por o simplemente haciendo todos los mapas continuo como se extiende sobre [2] Si no está claro por el contexto, entonces debe asumirse que es todo en cuyo caso se denomina topología débil en (Inducido por ). La notación o (si no puede surgir confusión) simplemente se usa para denotar dotado de la topología débil Es importante destacar que la topología débil depende completamente de la función la topología habitual en y estructura del espacio vectorial, pero no en las estructuras algebraicas de
Del mismo modo, si luego la definición dual de la topología débil en Inducido por (y ), que se denota por o simplemente (ver nota a pie de página para más detalles). [nota 3]
Definición y notación : si " "se adjunta a una definición topológica (p. ej. -converges, -encerrado, etc.) entonces significa que la definición cuando el primer espacio (es decir, ) lleva el topología. Mención de o incluso y puede omitirse si no surgirá confusión. Entonces, por ejemplo, si una secuencia en " -converge "o" converge débilmente ", esto significa que converge en mientras que si fuera una secuencia en entonces esto significaría que converge en ).
La topologia es localmente convexa ya que está determinada por la familia de seminormas definido por como se extiende sobre [2] Si y es una red en luego -converge a Si converge a en [2] Una red-converge a si y solo si para todos converge a Si es una secuencia de vectores ortonormales en el espacio de Hilbert, entoncesconverge débilmente a 0 pero no converge la norma a 0 (o cualquier otro vector). [2]
Si es un emparejamiento y es un subespacio vectorial adecuado de tal que es un par dual, entonces es estrictamente más tosco que[2]
Subconjuntos acotados
Un subconjunto de es -limitado si y solo si
dónde
Hausdorffness
Si es un emparejamiento, entonces los siguientes son equivalentes:
distingue puntos de ;
El mapa define una inyección de en el espacio dual algebraico de ; [2]
es Hausdorff . [2]
Teorema de representación débil
El siguiente teorema es de fundamental importancia para la teoría de la dualidad porque caracteriza completamente el espacio dual continuo de
Teorema de representación débil [2] - Sea ser una pareja en el campo Entonces el espacio dual continuo de es Además,
Si es un funcional lineal continuo en entonces existe algo tal que ; si tal existe entonces es único si y solo si distingue puntos de
Tenga en cuenta que si distingue puntos de no depende del vector particular
El espacio dual continuo de puede identificarse con dónde
Esto es cierto independientemente de si distingue puntos de o distingue puntos de
En consecuencia, el espacio dual continuo de es
Con respecto al emparejamiento canónico, si es un televisor cuyo espacio dual continuo separa puntos en (es decir, tal que es Hausdorff, lo que implica que es también necesariamente Hausdorff), entonces el espacio dual continuo de es igual al conjunto de todas las "evaluaciones en un punto "mapas como se extiende sobre (es decir, el mapa que envía a ). Esto se escribe comúnmente como
Este hecho muy importante es la razón por la que los resultados de topologías polares en espacios duales continuos, como la topología dual fuerte en por ejemplo, también se puede aplicar a menudo a los televisores originales ; por ejemplo, estar identificado con significa que la topología en en cambio, se puede considerar como una topología en Además, si está dotado de una topología más fina que entonces el espacio dual continuo de necesariamente contendrá como un subconjunto. Entonces, por ejemplo, cuando está dotado de la fuerte topología dual (y por lo tanto se denota por ) luego
que (entre otras cosas) permite estar dotado de la topología subespacial inducida en él por, digamos, la fuerte topología dual (esta topología también se denomina topología bidual fuerte y aparece en la teoría de los espacios reflexivos : el TVS localmente convexo de Hausdorff se dice que es semi-reflexivo si y se llamará reflexivo si además la topología bidual fuerte en es igual a topología original / inicial).
Ortogonales, cocientes y subespacios
Si es un emparejamiento para cualquier subconjunto de :
y este conjunto es -cerrado; [2]
; [2]
Así que si es un -subespacio vectorial cerrado de luego
Si es una familia de -subespacios vectoriales cerrados de luego
[2]
Si es una familia de subconjuntos de luego [2]
Si es un espacio normado entonces bajo la dualidad canónica, es la norma cerrada en y es la norma cerrada en [2]
Subespacios
Suponer que es un subespacio vectorial de y deja denotar la restricción de a La topología débil en es idéntica a la topología subespacial que hereda de
También, es un espacio emparejado (donde medio ) dónde es definido por
La topologia es igual a la topología del subespacio que hereda de [6] Además, si es un sistema dual, entonces también lo es [6]
Cocientes
Suponer que es un subespacio vectorial de Luego es un espacio emparejado donde es definido por
La topologia es idéntica a la topología cociente habitual inducida por en [6]
Polares y topología débil
Si es un espacio localmente convexo y si es un subconjunto del espacio dual continuo luego es -limitado si y solo si por un barril en [2]
Los siguientes resultados son importantes para definir topologías polares.
Si es un emparejamiento y entonces: [2]
El polar de es un subconjunto cerrado de
Los polares de los siguientes conjuntos son idénticos: (a) ; (b) el casco convexo de; (c) el casco equilibrado de; (d) el-cierre de ; (e) el-cierre del casco convexo equilibrado de
El teorema bipolar : El bipolar de denotado por es igual a la -cierre del casco convexo equilibrado de
El teorema bipolar en particular "es una herramienta indispensable para trabajar con dualidades". [5]
es -limitado si y solo si está absorbiendo en
Si además distingue puntos de luego es - acotado si y solo si es- totalmente acotado .
Si es un emparejamiento y es una topología convexa local en que es consistente con la dualidad, entonces un subconjunto de hay un barril en si y solo si es el polar de algunos-subconjunto limitado de [7]
Transposiciones
Transponer un mapa lineal con respecto a los emparejamientos
Dejar y ser emparejamientos terminados y deja ser un mapa lineal.
Para todos dejar ser el mapa definido por Se dice que ' S de transposición o adjunto está bien definido si las siguientes condiciones son satisface:
distingue puntos de (o equivalentemente, el mapa de en el dual algebraico
es inyectable ), y
dónde
En este caso, para cualquier existe (por condición 2) un único (por condición 1) tal que ), donde este elemento de será denotado por Esto define un mapa lineal
llamado la transposición de adjunto de con respecto a y (esto no debe confundirse con el adjunto hermitiano ). Es fácil ver que las dos condiciones mencionadas anteriormente (es decir, para "la transposición está bien definida") también son necesarias paraestar bien definido. Para cada la condición definitoria para es
es decir,
para todos
Por las convenciones mencionadas al principio de este artículo, esto también define la transposición de mapas lineales de la forma [nota 4][nota 5][nota 6][nota 7], etc. (ver nota a pie de página para más detalles).
Propiedades de la transposición
A lo largo de, y ser emparejamientos terminados y será un mapa lineal cuya transposición está bien definido.
es inyectivo (es decir) si y solo si el rango de es denso en [2]
Si además de estando bien definido, la transposición de también está bien definido, entonces
Suponer es un emparejamiento terminado y es un mapa lineal cuya transposición está bien definido. Entonces la transposición de cual es está bien definido y
Si es un isomorfismo del espacio vectorial entonces es biyectiva, la transposición de cual es está bien definido, y [2]
Dejar y deja denota el polar absoluto deentonces: [2]
;
Si para algunos luego ;
Si es tal que luego ;
Si y son discos débilmente cerrados entonces si y solo si ;
Estos resultados se mantienen cuando se usa el polar real en lugar del polar absoluto.
Si y son espacios normativos bajo sus dualidades canónicas y si es un mapa lineal continuo, entonces [2]
Débil continuidad
Un mapa lineal es débilmente continuo (con respecto a y ) Si es continuo.
El siguiente resultado muestra que la existencia del mapa de transposición está íntimamente ligada a la topología débil.
Proposición : suponga que distingue puntos de y es un mapa lineal. Entonces los siguientes son equivalentes:
es débilmente continuo (es decir, es continuo);
;
la transposición de está bien definido.
Si es débilmente continuo entonces
es débilmente continuo, lo que significa que es continuo;
la transposición de está bien definido si y solo si distingue puntos de en ese caso
Topología débil y dualidad canónica
Suponer que es un espacio vectorial y que es el dual algebraico. Entonces cada-subconjunto limitado de está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita y cada subespacio vectorial de es -cerrado. [2]
Completitud débil
Si es un espacio vectorial topológico completo, digamos que es -completo o (si no puede surgir ambigüedad) débilmente-completo . Existen espacios de Banach que no están débilmente completos (a pesar de estar completos en su topología normal). [2]
Si es un espacio vectorial entonces bajo la dualidad canónica, Esta completo. [2] Por el contrario, sies un televisor localmente convexo de Hausdorff con espacio dual continuo luego está completo si y solo si ; es decir, si y solo si el mapa definido enviando al mapa de evaluación en (es decir ) es una biyección. [2]
En particular, con respecto a la dualidad canónica, si es un subespacio vectorial de tal que separa puntos de luego está completo si y solo si Dicho de otra manera, no existe un subespacio vectorial adecuado de tal que es Hausdorff y está completo en la topología débil- * (es decir, la topología de convergencia puntual). En consecuencia, cuando el espacio dual continuo de un Hausdorff convexa localmente TVSestá dotado de la topología débil- * , entoncesestá completo si y solo si(es decir, si y solo si cada funcional lineal en es continuo).
Identificación de Y con un subespacio del dual algebraico
Si distingue puntos de y si denota el rango de la inyección luego es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de y el maridaje se identifica canónicamente con el emparejamiento canónico (dónde es el mapa de evaluación natural). En particular, en esta situación se asumirá sin pérdida de generalidad que es un subespacio vectorial de dual algebraico y es el mapa de evaluación.
Convención : a menudo, siempre que es inyectable (especialmente cuando forma un par dual) entonces es una práctica común suponer sin pérdida de generalidad que es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de que es el mapa de evaluación natural, y también denota por
De manera completamente análoga, si distingue puntos de entonces es posible que ser identificado como un subespacio vectorial de espacio dual algebraico. [3]
Adjunto algebraico
En el caso espacial donde las dualidades son las dualidades canónicas y la transposición de un mapa lineal siempre está bien definido. Esta transposición se llama el adjunto algebraico de y será denotado por ; es decir, En este caso, para todos [2] [8] donde la condición definitoria para es:
o equivalente,
Ejemplos de
Si por algún entero es una base para con base dual es un operador lineal, y la representación matricial de con respecto a es luego la transposición de es la representación matricial con respecto a de
Débil continuidad y apertura.
Suponer que y son emparejamientos canónicos (así que y ) que son sistemas duales y permiten ser un mapa lineal. Luegoes débilmente continuo si y solo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: [2]
es continuo;
la transposición de F , con respecto a y está bien definido.
Si es débilmente continuo entonces será continuo y además, [8]
Un mapa entre espacios topológicos es relativamente abierto sies un mapeo abierto , donde es el rango de [2]
Suponer que y son sistemas duales y es un mapa lineal débilmente continuo. Entonces los siguientes son equivalentes: [2]
es relativamente abierto;
El rango de es -encerrado ;
Además,
es inyectiva (resp. biyectiva) si y solo si es sobreyectiva (resp. biyectiva);
es sobreyectiva si y solo si es relativamente abierto e inyectivo.
Transponer un mapa entre televisores
La transposición del mapa entre dos TVS se define si y solo si es débilmente continuo.
Si es un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos localmente convexos de Hausdorff, entonces: [2]
Si es continuo, entonces es débilmente continuo y es tanto Mackey continuo como fuertemente continuo.
Si es débilmente continuo, entonces es Mackey continuo y fuertemente continuo (definido a continuación).
Si es débilmente continuo, entonces es continuo si y solo si mapea subconjuntos equicontinuos de a subconjuntos equicontinuos de
Si y son espacios normativos entonces es continuo si y solo si es débilmente continuo, en cuyo caso
Si es continuo entonces es relativamente abierto si y solo si es débilmente relativamente abierto (es decir es relativamente abierto) y todos los subconjuntos equicontinuos de es la imagen de algunos subconjuntos equicontinuos de
Si es inyección continua entonces es una incrustación de TVS (o equivalentemente, una incrustación topológica ) si y solo si cada subconjunto equicontinuo de es la imagen de algunos subconjuntos equicontinuos de
Metrizabilidad y separabilidad
Dejar ser un espacio localmente convexo con un espacio dual continuo y deja [2]
Si es equicontinuo o-compacto, y si es tal que es denso en luego la topología del subespacio que hereda de es idéntica a la topología subespacial que hereda de
Si es separable y es equicontinuo entonces cuando está dotado de la topología subespacial inducida por es metrizable .
Si es separable y metrizable , entonces es separable.
Si es un espacio normado entonces es separable si y solo si la unidad cerrada llama al espacio dual continuo de es metrizable cuando se le da la topología subespacial inducida por
Si es un espacio normado cuyo espacio dual continuo es separable (cuando se da la topología de norma habitual), entonces es separable.
Topologías polares y topologías compatibles con el emparejamiento
Comenzando solo con la topología débil, el uso de conjuntos polares produce una variedad de topologías localmente convexas. Estas topologías se denominan topologías polares . La topología débil es la topología más débil de este rango.
A lo largo de, será un emparejamiento sobre y será una colección no vacía de -subconjuntos delimitados de
Topologías polares
La topología polar en determinado por (y ) o el -topología enes la topología única de espacio vectorial topológico (TVS) en para cual
forma una subbase de barrios en el origen. [2] Cuando está dotado con esto -topología entonces se denota por Y. Toda topología polar es necesariamente convexa localmente . [2] Cuando es un conjunto dirigido con respecto a la inclusión de subconjuntos (es decir, si para todos existe algo tal que ) entonces esta subbase de vecindad en 0 forma en realidad una base de vecindad en 0. [2]
La siguiente tabla enumera algunas de las topologías polares más importantes.
Notación : si denota una topología polar en luego dotados con esta topología se denotarán por o simplemente (por ejemplo, para tendríamos así que eso y todo denota con dotado de ).
("topología de convergencia uniforme en ...")
Notación
Nombre ("topología de ...")
nombre alternativo
subconjuntos finitos de (o -cascos de discos cerrados de subconjuntos finitos de)
puntual / convergencia simple
topología débil / débil *
-compact discos
Topología de Mackey
-subconjuntos convexos compactos
convergencia convexa compacta
-subconjuntos compactos (o equilibrados-subconjuntos compactos)
convergencia compacta
-subconjuntos delimitados
convergencia acotada
topología fuerte Topología polar más fuerte
Definiciones que involucran topologías polares
Continuidad
Un mapa lineal ¿ Mackey es continuo (con respecto a y ) Si es continuo. [2]
Un mapa lineal es fuertemente continuo (con respecto a y ) Si es continuo. [2]
Subconjuntos acotados
Un subconjunto de está débilmente acotado (resp. Mackey acotado , fuertemente acotado ) si está acotado en (resp. acotado en limitado en ).
Topologías compatibles con un par
Si es un emparejamiento terminado y es una topología vectorial en luego es una topología del emparejamiento y que es compatible (o consistente ) con el emparejamientosi es localmente convexo y si el espacio dual continuo de[nota 8] Si distingue puntos de luego identificando como un subespacio vectorial de es dual algebraico, la condición definitoria se convierte en: [2] Algunos autores (por ejemplo, [Trèves 2006] y [Schaefer 1999]) requieren que una topología de un par también sea Hausdorff, [3] [9] que tendría que ser si distingue los puntos de (que asumen estos autores).
La topología débil es compatible con el emparejamiento (como se mostró en el teorema de representación débil) y, de hecho, es la topología más débil. Existe una topología más fuerte compatible con este emparejamiento y esa es la topología de Mackey . Sies un espacio normado que no es reflexivo, entonces la topología de norma habitual en su espacio dual continuo no es compatible con la dualidad[2]
Teorema de Mackey-Arens
El siguiente es uno de los teoremas más importantes de la teoría de la dualidad.
Teorema I de Mackey-Arens [2] - Sea será un emparejamiento tal que distingue los puntos de y deja ser una topología localmente convexa en (no necesariamente Hausdorff). Luego es compatible con el emparejamiento si y solo si es una topología polar determinada por alguna colección de -compact discos que la cobertura [nota 9]
De ello se deduce que la topología de Mackey cuyo recuerdo es la topología polar generada por todos -discos compactos en es la topología convexa local más fuerte en que sea compatible con el emparejamiento Un espacio localmente convexo cuya topología dada es idéntica a la topología de Mackey se denomina espacio de Mackey . La siguiente consecuencia del teorema de Mackey-Arens anterior también se denomina teorema de Mackey-Arens.
Teorema II de Mackey-Arens [2] - Sea será un emparejamiento tal que distingue los puntos de y deja ser una topología localmente convexa en Luego es compatible con el emparejamiento si y solo si
Teorema de Mackey, barriles y conjuntos convexos cerrados
Si es un TVS (sobre o ) entonces un medio espacio es un conjunto de la forma para algunos reales y algunos funcionales lineales reales continuos en
Teorema - Sies un espacio localmente convexo (sobre o ) y si es un subconjunto no vacío cerrado y convexo de luego es igual a la intersección de todos los medios espacios cerrados que lo contienen. [10]
El teorema anterior implica que los subconjuntos cerrado y convexo de un espacio convexo local dependen por completo del espacio dual continuo. En consecuencia, los subconjuntos cerrados y convexos son los mismos en cualquier topología compatible con la dualidad; eso es, si y ¿Hay topologías localmente convexas en con los mismos espacios duales continuos, entonces un subconjunto convexo de está cerrado en el topología si y sólo si está cerrada en el topología. Esto implica que el-cierre de cualquier subconjunto convexo de es igual a su -cierre y que para cualquier -cerrado disco en [2] En particular, si es un subconjunto de luego hay un barril en si y solo si es un barril en [2]
El siguiente teorema muestra que los barriles (es decir, discos absorbentes cerrados ) son exactamente los polares de subconjuntos débilmente acotados.
Teorema [2] - Sea será un emparejamiento tal que distingue los puntos de y deja ser una topología del par. Entonces un subconjunto de hay un barril en si y solo si es igual a la polar de alguna -subconjunto limitado de
Si es un espacio vectorial topológico entonces: [2] [11]
Un subconjunto cerrado absorbente y equilibrado de absorbe cada subconjunto compacto convexo de (es decir, existe un real tal que contiene ese conjunto).
Si es Hausdorff y localmente convexo, entonces cada barril en absorbe cada subconjunto completo acotado convexo de
Todo esto conduce al teorema de Mackey, que es uno de los teoremas centrales en la teoría de sistemas duales. En resumen, establece que los subconjuntos acotados son los mismos para dos topologías convexas de Hausdorff que sean compatibles con la misma dualidad.
Teorema de Mackey [11] [2] - Suponga que es un espacio localmente convexo de Hausdorff con un espacio dual continuo y considera la dualidad canónica Si hay alguna topología en que sea compatible con la dualidad en entonces los subconjuntos acotados de son los mismos que los subconjuntos acotados de
Ejemplos de
Espacio de secuencias finitas
Dejar denotar el espacio de todas las secuencias de escalares tal que para todo lo suficientemente grande Dejar y definir un mapa bilineal por
Luego [2] Además, un subconjunto es -limitado (resp. -bounded) si y solo si existe una secuencia de números reales positivos tales que para todos y todos los índices (resp. y ). [2] De ello se deduce que hay delimitados débiles (es decir, -limitado) subconjuntos de que no están fuertemente delimitados (es decir, no -encerrado).
Ver también
Espacio dual: espacio vectorial de funciones lineales de vectores que devuelven escalares; generalizando el producto escalar
Topología dual
Dualidad (matemáticas)
Producto Interno
Producto semi-interno en L - Generalización de productos internos que se aplica a todos los espacios normativos
Emparejamiento
Conjunto polar : subconjunto de todos los puntos que está delimitado por algún punto dado de un dual (en un emparejamiento dual)
Topología polar: topología de espacio dual de convergencia uniforme en algunas subconjuntos de subconjuntos delimitados
Par dual reductor
Fuerte espacio dual: espacio dual continuo dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos delimitados
Topología fuerte (topología polar)
Topologías en espacios de mapas lineales
Topología débil : topología en la que la convergencia de puntos se define por la convergencia de su imagen en funcionales lineales continuos
Notas
^ Un subconjunto de se llama total si para todos
implica
^ Esoes lineal en su primera coordenada es obvio. Suponeres un escalar. Luego que muestra que es lineal en su segunda coordenada.
^ La topología débil en es la topología de TVS más débil en haciendo todos los mapas continuo, como se extiende sobre La notación dual de o simplemente también se puede usar para denotar dotado de la topología débil Si no está claro por el contexto, entonces debe asumirse que es todo en cuyo caso simplemente se denomina topología débil en (Inducido por ).
^ Si es un mapa lineal entonces transposición, está bien definido si y solo si distingue puntos de y En este caso, para cada la condición definitoria para es:
^ Si es un mapa lineal entonces transposición, está bien definido si y solo si distingue puntos de y En este caso, para cada la condición definitoria para es:
^ Si es un mapa lineal entonces transposición, está bien definido si y solo si distingue puntos de y En este caso, para cada la condición definitoria para es:
^ Si es un mapa lineal entonces transposición, está bien definido si y solo si distingue puntos de y En este caso, para cada la condición definitoria para es:
^ Por supuesto, existe una definición análoga para topologías en para ser "compatible con un emparejamiento", pero este artículo solo se ocupará de las topologías en
^ Recuerde que una colección de subconjuntos de un conjuntose dice que cubre si cada punto de está contenido en algún conjunto perteneciente a la colección.
Referencias
^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 122.
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z aa ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al am an ao ap aq ar como en au av aw ax ay Narici & Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
↑ a b c d e f Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 122-128.
^ Trèves , 2006 , p. 195.
↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 123-128.
↑ a b c Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 260-264.
^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 251-253.
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