Función elíptica de Weierstrass

En matemáticas , las funciones elípticas de Weierstrass son funciones elípticas que toman una forma particularmente simple. Llevan el nombre de Karl Weierstrass . Esta clase de funciones también se conocen como funciones ℘ y generalmente se denotan con el símbolo ℘, una escritura p únicamente elegante . Desempeñan un papel importante en la teoría de funciones elípticas. Una función ℘ junto con su derivada se puede utilizar para parametrizar curvas elípticas y generan el campo de funciones elípticas con respecto a una retícula de período dado.

Vamos a ser dos números complejos que son linealmente independientes sobre y dejar que sea el enrejado generado por esos números. Entonces la función -se define de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda: = \ mathbb {Z} \ omega _ {1} + \ mathbb {Z} \ omega _ {2}: = \ {m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ Displaystyle \ wp}$

Esta serie converge localmente de manera uniforme absolutamente en . A menudo en lugar de solo se escribe. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ smallsetminus \ Lambda}$ ${\ Displaystyle \ wp (z, \ omega _ {1}, \ omega _ {2})}$ ${\ Displaystyle \ wp (z)}$

La función de Weierstrass se construye exactamente de tal manera que tiene un polo del orden dos en cada punto de la red. ${\ Displaystyle \ wp}$

Debido a que la suma por sí sola no convergería, es necesario agregar el término . ^[1] ${\ textstyle \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda} (z- \ lambda) ^ {- 2}}$ ${\ textstyle - \ lambda ^ {- 2}}$