En matemáticas , un punto de Weierstrass en una curva algebraica no singular definido sobre los números complejos es un punto tal que hay más funciones en , con sus polos restringidos asólo, de lo que predeciría el teorema de Riemann-Roch .
El concepto lleva el nombre de Karl Weierstrass .
Considere los espacios vectoriales
dónde es el espacio de funciones meromorfas en cuya orden en Por lo menos y sin otros polos. Sabemos tres cosas: la dimensión es al menos 1, debido a las funciones constantes en; no es decreciente; y según el teorema de Riemann-Roch, la dimensión finalmente se incrementa exactamente en 1 a medida que nos movemos hacia la derecha. De hecho sies el género de, la dimensión del -th término se sabe que es
- por
Nuestro conocimiento de la secuencia es, por tanto,
¿Qué sabemos sobre el? entradas es que pueden incrementarse como máximo en 1 cada vez (este es un argumento simple: tiene dimensión como la mayoría 1 porque si y tienen el mismo orden de polos en , luego tendrá un polo de orden inferior si la constante se elige para cancelar el término principal). Existen signos de interrogación aquí, por lo que los casos o no necesitan más discusión y no dan lugar a puntos de Weierstrass.
Asuma por lo tanto . Habrá intensifica, y pasos donde no hay incremento. Un punto de no Weierstrass ocurre siempre que los incrementos están todos lo más a la derecha posible: es decir, la secuencia se ve como
Cualquier otro caso es un punto de Weierstrass . Una brecha de Weierstrass para es un valor de tal que ninguna función en tiene exactamente un -doble el poste en solo. La secuencia de espacios es
para un punto que no sea de Weierstrass. Para un punto de Weierstrass, contiene al menos un número más alto. (El teorema de la brecha de Weierstrass o Lückensatz es la afirmación de que debe haber brechas.)
Para las curvas hiperelípticas , por ejemplo, podemos tener una función con un polo doble en solo. Sus poderes tienen polos de ordeny así. Por lo tanto, tal tiene la secuencia del hueco
En general, si la secuencia de espacios es
el peso del punto Weierstrass es
Esto se introduce debido a un teorema de conteo: en una superficie de Riemann, la suma de los pesos de los puntos de Weierstrass es
Por ejemplo, un punto de Weierstrass hiperelíptico, como el anterior, tiene peso Por lo tanto, hay (como máximo) de ellos. LaLos puntos de ramificación de la cobertura ramificada de grado dos desde una curva hiperelíptica a la línea proyectiva son todos puntos Weierstrass hiperelípticos y estos agotan todos los puntos Weierstrass en una curva hiperelíptica de género..
Más información sobre las lagunas proviene de la aplicación del teorema de Clifford . La multiplicación de funciones da a los no espacios una estructura numérica de semigrupo , y una vieja pregunta de Adolf Hurwitz pedía una caracterización de los semigrupos que ocurren. R.-O. Buchweitz en 1980 y dio un ejemplo de un subgrupo de enteros no negativos con 16 espacios que no ocurre como el semigrupo de no espacios en un punto de una curva del género 16 (ver [1] ). FK Schmidt dio una definición de punto de Weierstrass para una curva no singular sobre un campo de característica positiva en 1939.
Característica positiva
De manera más general, para una curva algebraica no singular definido sobre un campo algebraicamente cerrado de característica , los números de espacio para todos, excepto para un número finito de puntos, es una secuencia fija Estos puntos se denominan puntos que no son de Weierstrass . Todos los puntos decuya secuencia de huecos es diferente se denominan puntos de Weierstrass .
Si entonces la curva se llama curva clásica . De lo contrario, se llama no clásico . En la característica cero, todas las curvas son clásicas.
Las curvas hermitianas son un ejemplo de curvas no clásicas. Estas son curvas proyectivas definidas sobre un campo finito por ecuación , dónde es un poder primordial.
Notas
- ^ Eisenbud 1987 , página 499.
Referencias
- P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interscience. págs. 273–277. ISBN 0-471-05059-8.
- Farkas; Kra (1980). Superficies Riemann . Textos de Posgrado en Matemáticas. Springer-Verlag. págs. 76 –86. ISBN 0-387-90465-4.
- Eisenbud, David; Harris, Joe (1987). "Existencia, descomposición y límites de ciertos puntos de Weierstrass". Inventar. Matemáticas . 87 : 495–515. doi : 10.1007 / bf01389240 .
- García, Arnaldo; Viana, Paulo (1986). "Puntos de Weierstrass en ciertas curvas no clásicas". Archiv der Mathematik . 46 : 315–322. doi : 10.1007 / BF01200462 .