Función Weingarten

En matemáticas, las funciones de Weingarten son funciones racionales indexadas por particiones de números enteros que se pueden usar para calcular integrales de productos de coeficientes de matrices sobre grupos clásicos . Primero fueron estudiados por Weingarten (1978) quien encontró su comportamiento asintótico, y nombrados por Collins (2003) , quien los evaluó explícitamente para el grupo unitario .

Las funciones de Weingarten se utilizan para evaluar integrales sobre el grupo unitario U _d de productos de coeficientes de matriz de la forma

donde denota conjugación compleja. Tenga en cuenta que donde está la transpuesta conjugada de , por lo que se puede interpretar la expresión anterior como el elemento de la matriz de . ${\ estilo de visualización *}$ $U_{ji}^{*}=(U^{\daga})_{ij}$ $U^{\daga}$ ${\ estilo de visualización U}$ $i_{1}j_{1}\ldots i_{q}j_{q}j'_{1}i'_{1}\ldots j'_{q}i'_{q}$ $U\otimes \cdots \otimes U\otimes U^{\daga}\otimes \cdots \otimes U^{\daga}$

donde la suma es sobre todas las particiones λ de q ( Collins 2003 ). Aquí χ ^λ es el carácter de S _q correspondiente a la partición λ y s es el polinomio de Schur de λ, por lo que s _{λ d} (1) es la dimensión de la representación de U _d correspondiente a λ.

Las funciones de Weingarten son funciones racionales en d . Pueden tener polos para valores pequeños de d , que se anulan en la fórmula anterior. Existe una definición alternativa no equivalente de las funciones de Weingarten, donde solo se suman particiones con un máximo de d partes. Esta ya no es una función racional de d , sino que es finita para todos los enteros positivos d . Los dos tipos de funciones de Weingarten coinciden para d mayor que q , y cualquiera puede usarse en la fórmula de la integral.

donde la permutación σ es un producto de ciclos de longitudes C _i , y c _n = (2 n )!/ n !( n + 1)! es un número catalán , y |σ| es el menor número de transposiciones de las que σ es producto. Existe un método esquemático ^[3] para calcular sistemáticamente las integrales sobre el grupo unitario como una serie de potencias en 1/d .