Grupo clasico

Para el libro de Weyl, vea The Classical Groups .

Grupos de mentiras
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n )
Grupos de Simple Lie Clásico A n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Otros grupos de Lie Circulo Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Círculo Euclidiana
Álgebras de mentira Correspondencia entre grupos de mentiras y álgebra de mentiras Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matanza Índice Simetría del punto de mentira Álgebra de mentira simple
Álgebra de mentira semimple Diagramas Dynkin Subálgebra de cartan Sistema raíz Grupo Weyl Forma real Complejificación Álgebra de mentira dividida Álgebra de mentira compacta
Teoría de la representación Representación de grupos de mentiras Representación del álgebra de mentiras Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple Representaciones de grupos de Lie clásicos Teorema del mayor peso Teorema de Borel-Weil-Bott
Grupos de mentiras en física Física de partículas y teoría de la representación Representaciones del grupo Lorentz Representaciones del grupo Poincaré Representaciones del grupo galileo
Científicos Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm matando Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glosario Grupos de Tabla de mentiras
v t mi

En matemáticas , los grupos clásicos se definen como los grupos lineales especiales sobre los reales R , el números complejos C y los cuaterniones H junto con especial ^[1] grupos de automorfismos de simétricos o antisimétrica formas bilineales y hermitiana o hemi-hermitianos formas sesquilinear definido en espacios vectoriales de dimensión finita reales, complejos y cuaterniónicos. ^[2] De estos, los complejos grupos de Lie clásicos son cuatro familias infinitas deGrupos de Lie que junto con los grupos excepcionales agotan la clasificación de grupos de Lie simples . Los grupos clásicos compactos son formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Los análogos finitos de los grupos clásicos son los grupos clásicos de tipo Lie . El término "grupo clásico" fue acuñado por Hermann Weyl , siendo el título de su monografía de 1939 The Classical Groups . ^[3]

Los grupos clásicos forman la parte más profunda y útil del tema de los grupos de Lie lineales. ^[4] La mayoría de los tipos de grupos clásicos encuentran aplicación en la física clásica y moderna. Algunos ejemplos son los siguientes. El grupo de rotación SO (3) es una simetría del espacio euclidiano y todas las leyes fundamentales de la física, el grupo de Lorentz O (3,1) es un grupo de simetría del espacio-tiempo de relatividad especial . El grupo unitario especial SU (3) es el grupo de simetría de la cromodinámica cuántica y el grupo simpléctico Sp ( m ) encuentra aplicación enMecánica hamiltoniana y versiones de la mecánica cuántica .

Los grupos clásicos

Los grupos clásicos son exactamente los grupos lineales generales sobre R , C y H junto con los grupos de automorfismos de formas no degeneradas que se analizan a continuación. ^[5] Estos grupos suelen estar restringidos adicionalmente a los subgrupos cuyos elementos tienen el determinante 1, de modo que sus centros son discretos. Los grupos clásicos, con la condición determinante 1, se enumeran en la tabla siguiente. En la secuela, la condición del determinante 1 no se usa de manera consistente en aras de una mayor generalidad.

Nombre	Grupo	Campo	Formulario	Subgrupo compacto máximo	Álgebra de mentiras	Sistema raíz
Lineal especial	SL ( n , R )	R	-	SO ( n )
Complejo lineal especial	SL ( n , C )	C	-	SU ( n )	Complejo	A metro , norte = metro + 1 {\displaystyle \color {Blue}A_{m},n=m+1}
Lineal especial cuaterniónico	SL ( norte , H ) = SU ∗ (2 norte )	H	-	Sp ( n )
(Indefinido) ortogonal especial	ASÍ ( p , q )	R	Simétrico	S (O ( p ) × O ( q ))
Complejo ortogonal especial	SO ( n , C )	C	Simétrico	SO ( n )	Complejo	{ B m , n = 2 m + 1 D m , n = 2 m {\displaystyle \color {Blue}{\begin{cases}B_{m},&n=2m+1\\D_{m},&n=2m\end{cases}}}
Simpléctico	Sp ( n , R )	R	Simetría oblicua	U ( n )
Simpléctico complejo	Sp ( n , C )	C	Simetría oblicua	Sp ( n )	Complejo	C m , n = 2 m {\displaystyle \color {Blue}C_{m},n=2m}
(Indefinido) unitario especial	SU ( p , q )	C	Ermitaño	S (U ( p ) × U ( q ))
(Indefinido) unitario cuaterniónico	Sp ( p , q )	H	Ermitaño	Sp ( p ) × Sp ( q )
Ortogonal cuaterniónica	SO * (2 n )	H	Skew-Hermitian	ASÍ (2 n )

Los grupos clásicos complejos son SL ( n , C ) , SO ( n , C ) y Sp ( n , C ) . Un grupo es complejo según sea complejo su álgebra de Lie. Los grupos clásicos reales se refieren a todos los grupos clásicos, ya que cualquier álgebra de Lie es un álgebra real. Los grupos clásicos compactos son las formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Estos son, a su vez, SU ( n ) , SO ( n ) y Sp ( n) . Una caracterización de la forma real compacta es en términos del álgebra de Lie g . Si g = u + i u , la complexificación de u , y si el grupo conectado K generado por {exp ( X ): X ∈ u } es compacto, entonces K es una forma real compacta. ^[6]

Los grupos clásicos pueden caracterizarse uniformemente de una manera diferente utilizando formas reales . Los grupos clásicos (aquí con la condición determinante 1, pero esto no es necesario) son los siguientes:

Los grupos algebraicos lineales complejos SL ( n , C ), SO ( n , C ) y Sp ( n , C ) junto con sus formas reales . ^[7]

Por ejemplo, SO ^∗ (2 n ) es una forma real de SO (2 n , C ) , SU ( p , q ) es una forma real de SL ( n , C ) y SL ( n , H ) es una forma real forma de SL (2 n , C ). Sin la condición del determinante 1, reemplace los grupos lineales especiales con los grupos lineales generales correspondientes en la caracterización. Los grupos algebraicos en cuestión son grupos de Lie, pero el calificador "algebraico" es necesario para obtener la noción correcta de "forma real".

Formas bilineales y sesquilineales

Artículos principales: Forma bilineal y forma sesquilineal

Los grupos clásicos se definen en términos de formas definidas en R ⁿ , C ⁿ y H ⁿ , donde R y C son los campos de los números reales y complejos . Los cuaterniones , H , no constituyen un campo porque la multiplicación no conmuta; forman un anillo de división o un campo de inclinación o campo no conmutativo . Sin embargo, todavía es posible definir grupos cuaterniónicos de matriz. Por esta razón, se permite definir un espacio vectorial V sobre R, C , así como H a continuación. En el caso de H , V es un derecho de vector espacial para hacer posible la representación de la acción de grupo como la multiplicación de matrices de la izquierda , al igual que para R y C . ^[8]

Una forma φ : V × V → F en algún espacio vectorial derecho de dimensión finita sobre F = R , C o H es bilineal si

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$ y si

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Se llama sesquilineal si

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$ y si :${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2})\forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Estas convenciones se eligen porque funcionan en todos los casos considerados. Un automorfismo de φ es un mapa Α en el conjunto de operadores lineales en V tal que

${\displaystyle \varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V.}$

( 1 )

El conjunto de todos los automorfismos de φ forma un grupo, se llama grupo de automorfismos de φ , denotado Aut ( φ ) . Esto conduce a una definición preliminar de un grupo clásico:

Un grupo clásico es un grupo que conserva un bilineales o forma sesquilinear en los espacios vectoriales de dimensión finita más de R , C o H .

Esta definición tiene cierta redundancia. En el caso de F = R , bilineal es equivalente a sesquilinear. En el caso de F = H , no hay formas bilineales distintas de cero. ^[9]

Formas simétricas, sesgadas-simétricas, hermitianas y sesgadas-hermitianas

Una forma es simétrica si

${\displaystyle \varphi (x,y)=\varphi (y,x).}$

Es simétrico sesgado si

${\displaystyle \varphi (x,y)=-\varphi (y,x).}$

Es hermitiano si

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}}$

Finalmente, es sesgado-hermitiano si

${\displaystyle \varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.}$

Una forma bilineal φ es únicamente la suma de una forma simétrica y una forma sesgada-simétrica. Una transformación que conserva φ conserva ambas partes por separado. Los grupos que conservan formas simétricas y asimétricas pueden, por tanto, estudiarse por separado. Lo mismo se aplica, mutatis mutandis, a las formas hermitiana y sesgada-hermitiana. Por esta razón, a los efectos de la clasificación, solo se consideran las formas puramente simétricas, sesgadas simétricas, hermitianas o sesgadas-hermitianas. Las formas normales de las formas corresponden a elecciones específicas adecuadas de bases. Estas son bases que dan las siguientes formas normales en coordenadas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\qquad \varphi (x,y)&=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},\,\,(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\qquad \varphi (x,y)&=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},\,\,(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\qquad \varphi (x,y)&=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},\,\,(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\qquad \varphi (x,y)&=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},\,\,(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\qquad \varphi (x,y)&={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},\,\,(\mathbf {H} ).\end{aligned}}}$

El j en forma hemi-hermitiana es el tercer elemento base en la base ( 1 , i , j , k ) para H . Prueba de la existencia de estas bases y la ley de la inercia de Sylvester , la independencia del número de más-y menos-signos, p y q , en las formas simétricas y hermitianos, así como la presencia o ausencia de los campos de cada expresión, se puede encontrar en Rossmann (2002) o Goodman & Wallach (2009) . El par ( p , q ) , y a veces p -q , se llama la firma del formulario.

Explicación de ocurrencia de los campos R , C , H : No hay formas bilineales no triviales más de H . En el caso bilineal simétrico, solo las formas sobre R tienen una firma. En otras palabras, una forma bilineal compleja con "firma" ( p , q ) puede, mediante un cambio de base, reducirse a una forma en la que todos los signos son " + " en la expresión anterior, mientras que esto es imposible en el caso real. , en el que p - qes independiente de la base cuando se pone en esta forma. Sin embargo, las formas hermitianas tienen una firma independiente de la base tanto en el caso complejo como en el cuaterniónico. (El caso real se reduce al caso simétrico.) Una forma sesgada-hermitiana en un espacio vectorial complejo se convierte en hermitiana multiplicando por i , por lo que en este caso, solo H es interesante.

Grupos de automorfismo

Hermann Weyl , autor de The Classical Groups . Weyl hizo contribuciones sustanciales a la teoría de la representación de los grupos clásicos.

La primera sección presenta el marco general. Las otras secciones agotan las cualitativamente diferentes casos que se presentan como grupos de automorfismos de bilineal y formas sesquilinear en los espacios vectoriales de dimensión finita más de R , C y H .

Aut ( φ ) - el grupo de automorfismo

Suponga que φ es un no degenerado forma en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre R , C o H . El grupo de automorfismo se define, con base en la condición ( 1 ), como

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Todo A ∈ M _n ( V ) tiene un adjunto A ^φ con respecto a φ definido por

${\displaystyle \varphi (Ax,y)=\varphi (x,A^{\varphi }y),\qquad x,y\in V.}$

( 2 )

Usando esta definición en la condición ( 1 ), el grupo de automorfismo se ve dado por

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):A^{\varphi }A=1\}.}$[10]

( 3 )

Fijar una base para V . En términos de esta base, ponga

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}}$

donde ξ _i , η _j son los componentes de x , y . Esto es apropiado para las formas bilineales. Las formas sesquilineales tienen expresiones similares y se tratan por separado más adelante. En notación matricial uno encuentra

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y}$

y

${\displaystyle A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi }$[11]

( 4 )

de ( 2 ) donde Φ es la matriz ( φ _ij ) . La condición de no degeneración significa precisamente que Φ es invertible, por lo que el adjunto siempre existe. Aut ( φ ) expresado con esto se convierte en

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\}.}$

El álgebra de Lie aut ( φ ) de los grupos de automorfismos se puede escribir inmediatamente. De manera abstracta, X ∈ aut ( φ ) si y solo si

${\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1}$

para todo t , correspondiente a la condición en ( 3 ) bajo el mapeo exponencial de las álgebras de Lie, de modo que

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\},}$

o en una base

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{\mathrm {T} }\Phi =-X\}}$

( 5 )

como se ve usando la expansión de la serie de potencias del mapeo exponencial y la linealidad de las operaciones involucradas. A la inversa, suponga que X ∈ aut ( φ ) . Luego, usando el resultado anterior, φ ( Xx , y ) = φ ( x , X ^φ y ) = -φ ( x , Xy ) . Así, el álgebra de Lie se puede caracterizar sin referencia a una base, o al adjunto, como

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.}$

La forma normal de φ se dará para cada grupo clásico a continuación. De esa forma normal, la matriz Φ se puede leer directamente. En consecuencia, las expresiones para las álgebras adjuntas y de Lie se pueden obtener usando las fórmulas ( 4 ) y ( 5 ). Esto se demuestra a continuación en la mayoría de los casos no triviales.

Caso bilineal

Cuando la forma es simétrica, Aut ( φ ) se llama O ( φ ) . Cuando es asimétrico, entonces Aut ( φ ) se llama Sp ( φ ) . Esto se aplica a los casos reales y complejos. El caso cuaterniónico está vacío ya que no existen formas bilineales distintas de cero en espacios vectoriales cuaterniónicos. ^[12]

Caso real

El caso real se divide en dos casos, el simétrico y el antisimétrico, que deben tratarse por separado.

O ( p , q ) y O ( n ) - los grupos ortogonales

Artículos principales: grupo ortogonal y grupo ortogonal indefinido

Si φ es simétrico y el espacio vectorial es real, se puede elegir una base para que

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{1}\eta _{1}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.}$

El número de signos más y menos es independiente de la base particular. ^[13] En el caso V = R ^n, se escribe O ( φ ) = O ( p , q ) donde p es el número de signos más yq es el número de signos menos, p + q = n . Si q = 0, la notación es O ( n ) . La matriz Φ es en este caso

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}}$

después de reordenar la base si es necesario. La operación adjunta ( 4 ) se convierte en

${\displaystyle A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),}$

que se reduce a la transposición habitual cuando p o q es 0. El álgebra de Lie se encuentra usando la ecuación ( 5 ) y un ansatz adecuado (esto se detalla para el caso de Sp ( m , R ) a continuación),

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},}$

y el grupo según ( 3 ) viene dado por

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.}$

Los grupos O ( p , q ) y O ( q , p ) son isomorfos a través del mapa

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}$

Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de Lorentz podría escribirse como

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.}$

Naturalmente, es posible reorganizar para que el bloque q sea ​​la parte superior izquierda (o cualquier otro bloque). Aquí el "componente de tiempo" termina como la cuarta coordenada en una interpretación física, y no la primera como puede ser más común.

Sp ( m , R) - el grupo simpléctico real

Artículo principal: Grupo simpléctico

Si φ es asimétrico y el espacio vectorial es real, hay una base que da

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

donde n = 2 m . Para Aut ( φ ) se escribe Sp ( φ ) = Sp ( V ) En el caso de V = R ⁿ = R ^{2 m} se escribe Sp ( m , R ) o Sp (2 m , R ) . De la forma normal uno lee

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.}$

Haciendo el ansatz

${\displaystyle V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),}$

donde X , Y , Z , W son matrices m- dimensionales y considerando ( 5 ),

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)}$

se encuentra el álgebra de Lie de Sp ( m , R ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

y el grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Caso complejo

Como en el caso real, hay dos casos, el simétrico y el antisimétrico, cada uno de los cuales produce una familia de grupos clásicos.

O ( n , C) - el grupo ortogonal complejo

Artículo principal: Grupo ortogonal complejo

Si el caso φ es simétrico y el espacio vectorial es complejo, una base

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}}$

con solo signos más se pueden usar. El grupo automorphism es en el caso de V = C ⁿ llamado O (n, C ) . El álgebra de mentiras es simplemente un caso especial de eso para o ( p , q ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},}$

y el grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.}$

En cuanto a la clasificación de las álgebras de Lie simples , el modo ( n ) se dividen en dos clases, los que tienen n impar con sistema radicular B _n y n incluso con sistema radicular D _n .

Sp ( m , C) - el grupo simpléctico complejo

Artículo principal: Grupo simpléctico

Para φ simétrico sesgado y el complejo de espacio vectorial, la misma fórmula,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

se aplica como en el caso real. Para Aut ( φ ) se escribe Sp ( φ ) = Sp ( V ) En el caso de V = ℂ ⁿ = ℂ ^{2 m} se escribe Sp ( m , ℂ) o Sp (2 m , ℂ) . El álgebra de Lie es paralela a la de sp ( m , ℝ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

y el grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Caso sesquilineal

En el caso sequilineal, se hace un enfoque ligeramente diferente para la forma en términos de una base,

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.}$

Las otras expresiones que se modifican son

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,}$^[14]

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{*}\Phi =-X\}.}$

( 6 )

El caso real, por supuesto, no aporta nada nuevo. El caso complejo y cuaterniónico se considerará a continuación.

Caso complejo

Desde un punto de vista cualitativo, la consideración de formas sesgadas-hermitianas (hasta el isomorfismo) no proporciona nuevos grupos; la multiplicación por i hace que una forma hermitiana sesgada sea hermitiana, y viceversa. Por tanto, sólo es necesario considerar el caso hermitiano.

U ( p , q ) y U ( n ) - los grupos unitarios

Artículo principal: grupo unitario

Una forma hermitiana no degenerada tiene la forma normal.

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.}$

Como en el caso bilineal, la firma ( p , q ) es independiente de la base. El grupo de automorfismo se denota U ( V ) o, en el caso de V = C ⁿ , U ( p , q ) . Si q = 0, la notación es U ( n ) . En este caso, Φ toma la forma

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},}$

y el álgebra de Lie viene dada por

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.}$

El grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.}$

donde g es una matriz compleja general nxn y se define como la transpuesta conjugada de g, lo que los físicos llaman .${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle g^{\dagger }}$

Como comparación, una matriz unitaria U (n) se define como

${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.}$

Observamos que es lo mismo que${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,0)}$

Caso cuaterniónico

El espacio H ⁿ es considerado como un derecho espacio vectorial sobre H . De esta manera, A ( vh ) = ( Av ) h para un cuaternión h , una columna de cuaternión vector v y la matriz de cuaternión A . Si H ⁿ fuera un espacio vectorial de la izquierda sobre H , entonces se requeriría la multiplicación de matrices desde la derecha en los vectores de fila para mantener la linealidad. Esto no corresponde a la operación lineal habitual de un grupo en un espacio vectorial cuando se da una base, que es la multiplicación de matrices desde la izquierda.en los vectores de columna. Por lo tanto V es a partir de ahora un espacio vectorial derecha sobre H . Aun así, se debe tener cuidado debido a la naturaleza no conmutativa de H . Los detalles (en su mayoría obvios) se omiten porque se utilizarán representaciones complejas.

Cuando se trata de grupos cuaterniónicos, es conveniente representar cuaterniones utilizando matrices complejas de 2 × 2 ,

${\displaystyle q=a\mathrm {1} +b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=Q,\quad q\in \mathbb {H} ,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$[15]

( 7 )

Con esta representación, la multiplicación cuaterniónica se convierte en multiplicación de matrices y la conjugación cuaterniónica se vuelve tomando el adjunto hermitiano. Además, si un cuaternión de acuerdo con la codificación compleja q = x + j y se da como un vector de columna ( x , y ) ^T , entonces la multiplicación desde la izquierda por una representación matricial de un cuaternión produce un nuevo vector de columna que representa el cuaternión correcto . Esta representación difiere ligeramente de una representación más común que se encuentra en el artículo del cuaternión . La convención más común forzaría la multiplicación desde la derecha en una matriz de filas para lograr lo mismo.

Por cierto, la representación anterior deja en claro que el grupo de cuaterniones unitarios ( α α + β β = 1 = det Q ) es isomorfo a SU (2) .

Las matrices cuaterniónicas n × n pueden, por extensión obvia, estar representadas por 2 n × 2 n matrices en bloque de números complejos. ^[16] Si uno acepta representar un vector de columna cuaterniónico n × 1 por un vector de columna de 2 n × 1 con números complejos de acuerdo con la codificación anterior, siendo los n números superiores el α _i y el inferior n el β _i , entonces una matriz cuaterniónica n × n se convierte en un complejo 2 n × 2 n-matriz exactamente de la forma dada arriba, pero ahora con α y β n × n- matrices. Más formalmente

${\displaystyle \left(Q\right)_{n\times n}=\left(X\right)_{n\times n}+\mathrm {j} \left(Y\right)_{n\times n}\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\bar {Y}}\\Y&{\bar {X}}\end{matrix}}\right)_{2n\times 2n}.}$

( 8 )

Una matriz T ∈ GL (2 n , C ) tiene la forma mostrada en ( 8 ) si y solo si J _n T = TJ _n . Con estas identificaciones,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.}$

El espacio M _n ( H ) ⊂ M _{2 n} ( C ) es un álgebra real, pero no es un subespacio complejo de M _{2 n} ( C ) . La multiplicación (desde la izquierda) por i en M _n ( H ) usando la multiplicación cuaterniónica por entrada y luego mapeando a la imagen en M _{2 n} ( C ) produce un resultado diferente que multiplicar por entrada por i directamente en M _{2 n} ( C ). Las reglas de multiplicación cuaterniónica dan i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (- i Y ) donde las nuevas X e Y están entre paréntesis.

La acción de las matrices cuaterniónicas sobre los vectores cuaterniónicos está ahora representada por cantidades complejas, pero por lo demás es la misma que para las matrices y vectores "ordinarios". Por tanto, los grupos cuaterniónicos están incrustados en M _{2 n} ( C ) donde n es la dimensión de las matrices cuaterniónicas.

El determinante de una matriz cuaterniónica se define en esta representación como el determinante complejo ordinario de su matriz representativa. La naturaleza no conmutativa de la multiplicación cuaterniónica sería, en la representación cuaterniónica de matrices, ambigua. La forma en que M _n ( H ) está incrustado en M _{2 n} ( C ) no es única, pero todas estas incrustaciones están relacionadas a través de g ↦ AgA ⁻¹ , g ∈ GL (2 n , C ) para A ∈ O (2 n , C ), dejando el determinante intacto. ^[17] El nombre de SL ( n , H ) en esta apariencia compleja es SU ^∗ (2 n ) .

A diferencia de lo que ocurre en el caso de C , tanto el caso hermitiano como el hermitiano sesgado aportan algo nuevo cuando se considera H , por lo que estos casos se consideran por separado.

GL ( n , H) y SL ( n , H)

Debajo de la identificación anterior,

${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).}$

Su álgebra de Lie gl ( n , H ) es el conjunto de todas las matrices en la imagen del mapeo M _n ( H ) ↔ M _{2 n} ( C ) de arriba,

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).}$

El grupo lineal especial cuaterniónico está dado por

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),}$

donde el determinante se toma en las matrices en C ^{2 n} . Alternativamente, se puede definir esto como el núcleo del determinante Dieudonné . El álgebra de Lie es${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).}$

Sp ( p , q ) - el grupo unitario cuaterniónico

Como arriba en el caso complejo, la forma normal es

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}}$

y el número de signos más es independiente de la base. Cuando V = H ⁿ con esta forma, Sp ( φ ) = Sp ( p , q ) . La razón de la notación es que el grupo se puede representar, usando la prescripción anterior, como un subgrupo de Sp ( n , C ) preservando una forma de firma compleja-hermitiana (2 p , 2 q ) ^[18] Si p o q = 0 el grupo se denota U ( n , H ) . A veces se le llamagrupo hiperunitario .

En notación cuaterniónica,

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q}}$

lo que significa que las matrices cuaterniónicas de la forma

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\left({\begin{matrix}{\mathcal {X}}_{p\times p}&{\mathcal {Z}}_{p\times q}\\{\mathcal {Z}}^{*}&{\mathcal {Y}}_{q\times q}\end{matrix}}\right),\qquad {\mathcal {X}}^{*}=-{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}^{*}=-{\mathcal {Y}}}$

( 9 )

satisfará

${\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},}$

consulte la sección sobre u ( p , q ) . Necesidades precaución a ejercerse cuando se trata de la multiplicación de matrices cuaterniónica, pero aquí solamente me e - Me están involucrados y estos conmutan con toda matriz de cuaterniones. Ahora aplique la prescripción ( 8 ) a cada bloque,

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\left({\begin{matrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{matrix}}\right),{\mathcal {Y}}=\left({\begin{matrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{matrix}}\right),{\mathcal {Z}}=\left({\begin{matrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{matrix}}\right),}$

y las relaciones en ( 9 ) se satisfarán si

${\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},Y_{1}^{*}=-Y_{1}.}$

El álgebra de Lie se convierte en

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left(\left.{\begin{matrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{matrix}}\right)\right|X_{1}^{*}=-X_{1},Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.}$

El grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\}=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\qquad K=\mathrm {diag} (I_{p,q},I_{p,q})\}.}$

Volviendo a la forma normal de φ ( w , z ) para Sp ( p , q ) , haga las sustituciones w → u + jv y z → x + jy con u, v, x, y ∈ C ⁿ . Luego

${\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\qquad K_{p,q}=\mathrm {diag} (I_{p,q},I_{p,q})}$

visto como una forma con valor H en C ^{2 n} . ^[19] Así, los elementos de Sp ( p , q ) , vistos como transformaciones lineales de C ^{2 n} , conservan tanto una forma hermitiana de firma (2 p , 2 q ) como una forma sesgada-simétrica no degenerada. Ambas formas toman valores puramente complejos y debido al prefactor de j de la segunda forma, se conservan por separado. Esto significa que

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} (\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1})\cap \mathrm {Sp} (\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2})}$

y esto explica tanto el nombre del grupo como la notación.

O ^∗ (2 n ) = O ( n , H) - grupo ortogonal cuaterniónico

La forma normal de una forma sesgada-hermitiana viene dada por

${\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},}$

donde j es el tercer cuaternión base en el listado ordenado ( 1 , i , j , k ) . En este caso, Aut ( φ ) = O ^∗ (2 n ) se puede realizar, usando la codificación de matriz compleja de arriba, como un subgrupo de O (2 n , C ) que conserva una forma compleja no degenerada de sesgo-hermético de firma ( n , n ) . ^[20] De la forma normal se ve que en notación cuaterniónica

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}}$

y de ( 6 ) se sigue que

${\displaystyle -\Phi V^{*}\Phi =-V\Leftrightarrow V^{*}=\mathrm {j} _{n}V\mathrm {j} _{n}.}$

( 9 )

para V ∈ o (2 n ) . Ahora pon

${\displaystyle V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)}$

según prescripción ( 8 ). Los mismos rendimientos de prescripción para Φ ,

${\displaystyle \Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.}$

Ahora la última condición en ( 9 ) en notación compleja dice

${\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.}$

El álgebra de Lie se convierte en

${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},}$

y el grupo está dado por

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\}=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\}.}$

El grupo SO ^∗ (2 n ) se puede caracterizar como

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )|\theta ({\overline {g}})=g\},}$^[21]

donde el mapa θ : GL (2 n , C ) → GL (2 n , C ) está definido por g ↦ - J _{2 n} gJ _{2 n} . Además, la forma que determina el grupo puede verse como una forma con valor H en C ^{2 n} . ^[22] Haga las sustituciones x → w ₁ + iw ₂ e y → z ₁ + iz ₂ en la expresión de la forma. Luego

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).}$

La forma φ ₁ es hermitiana (mientras que la primera forma en el lado izquierdo es sesgada-hermitiana) de la firma ( n , n ) . La firma se hace evidente por un cambio de base de ( e , f ) a (( e + i f ) / √ 2 , ( e - i f ) / √ 2 ) donde e , f son el primer y último n vectores base respectivamente. La segunda forma, φ ₂es simétrico positivo definido. Así, debido al factor j , O ^∗ (2 n ) conserva ambos por separado y se puede concluir que

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} (\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}),}$

y se explica la notación "O".

Grupos clásicos sobre campos generales o álgebras

Los grupos clásicos, considerados más ampliamente en álgebra, proporcionan grupos de matrices particularmente interesantes . Cuando el campo  F de coeficientes del grupo de matrices es un número real o números complejos, estos grupos son solo los grupos de Lie clásicos. Cuando el campo de tierra es un campo finito , entonces los grupos clásicos son grupos de tipo Lie . Estos grupos juegan un papel importante en la clasificación de grupos simples finitos . Además, se pueden considerar grupos clásicos sobre un álgebra asociativa  unital R sobre F ; donde R  =  H(un álgebra sobre reales) representa un caso importante. En aras de la generalidad, el artículo se referirá a grupos sobre R , donde R puede ser el propio campo de tierra  F.

Teniendo en cuenta su teoría de grupo abstracta, muchos grupos lineales tienen un subgrupo " especial ", que generalmente consta de los elementos del determinante 1 sobre el campo fundamental, y la mayoría de ellos tienen cocientes " proyectivos " asociados , que son los cocientes por el centro del grupo. . Para grupos ortogonales en la característica 2, "S" tiene un significado diferente.

La palabra " general " delante del nombre de un grupo generalmente significa que el grupo puede multiplicar algún tipo de forma por una constante, en lugar de dejarla fija. El subíndice n suele indicar la dimensión del módulo sobre el que actúa el grupo; se trata de un espacio vectorial si R  =  F . Advertencia: esta notación choca un poco con la n de los diagramas de Dynkin, que es el rango.

Grupos lineales generales y especiales

El grupo lineal general GL _n ( R ) es el grupo de todos los R automorfismos -linear de R ⁿ . Hay un subgrupo: el grupo lineal especial SL _n ( R ), y sus cocientes: el grupo lineal general proyectivo PGL _n ( R ) = GL _n ( R ) / Z (GL _n ( R )) y el grupo lineal especial proyectivo PSL _n ( R ) = SL _n ( R ) / Z (SL _n (R )). El grupo lineal especial proyectivo PSL _n ( F ) sobre un campo F es simple para n  ≥ 2, excepto en los dos casos en los que n  = 2 y el campo tiene orden ^{[ aclaración necesaria ]} 2 o 3.

Grupos unitarios

El grupo unitario U _n ( R ) es un grupo que conserva una forma sesquilínea en un módulo. Hay un subgrupo, el grupo unitario especial SU _n ( R ) y sus cocientes el grupo unitario proyectivo PU _n ( R ) = U _n ( R ) / Z (U _n ( R )) y el grupo unitario especial proyectivo PSU _n ( R ) = SU _n ( R ) / Z (SU _n ( R ))

Grupos simplécticos

El grupo simpléctico Sp _{2 n} ( R ) conserva una forma simétrica sesgada en un módulo. Tiene un cociente, el grupo simpléctico proyectivo PSp _{2 n} ( R ). El grupo simpléctico general GSp _{2 n} ( R ) consiste en los automorfismos de un módulo que multiplica una forma simétrica sesgada por algún escalar invertible. El grupo simpléctico proyectivo PSp _{2 n} ( F _q ) sobre un campo finito es simple para n  ≥ 1, excepto en los casos de PSp ₂ sobre los campos de dos y tres elementos.

Grupos ortogonales

El grupo ortogonal O _n ( R ) conserva una forma cuadrática no degenerada en un módulo. Hay un subgrupo, el grupo ortogonal especial SO _n ( R ) y cocientes, el grupo ortogonal proyectivo PO _n ( R ) y el grupo ortogonal especial proyectivo PSO _n ( R ). En la característica 2, el determinante es siempre 1, por lo que el grupo ortogonal especial a menudo se define como el subgrupo de elementos del invariante 1 de Dickson .

Existe un grupo sin nombre a menudo denotado por Ω _n ( R ) que consiste en los elementos del grupo ortogonal de elementos de la norma de espino 1, con los correspondientes subgrupos y grupos de cocientes SΩ _n ( R ), PΩ _n ( R ), PSΩ _n ( R ). (Para formas cuadráticas definidas positivas sobre los reales, el grupo Ω resulta ser el mismo que el grupo ortogonal, pero en general es más pequeño). También hay una doble cobertura de Ω _n ( R ), llamada grupo de pines Pin _n ( R ), y tiene un subgrupo llamado grupo de giroHaga girar _n ( R ). El grupo ortogonal general GO _n ( R ) consiste en los automorfismos de un módulo que multiplica una forma cuadrática por algún escalar invertible.

Convenciones de notación

Más información: Tipo de grupo de mentira § Problemas de notación

Contraste con los grupos de mentiras excepcionales

En contraste con los grupos de Lie clásicos, están los grupos de Lie excepcionales , G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ , que comparten sus propiedades abstractas, pero no su familiaridad. ^[23] Estos solo se descubrieron alrededor de 1890 en la clasificación de las álgebras de Lie simples sobre los números complejos de Wilhelm Killing y Élie Cartan .

Notas

1. Aquí, especial significa el subgrupo del grupo de automorfismo completo cuyos elementos tienen el determinante 1.
2. Rossmann 2002 p. 94.
3. Weyl, 1939 harvnb error: no target: CITEREFWeyl1939 (help)
4. Rossmann 2002 p. 91.
5. Rossmann 2002 p, 94
6. Rossmann 2002 p. 103.
7. Goodman & Wallach 2009 Véase el final del capítulo 1.
8. Rossmann 2002p . 93.
9. Rossmann 2002 p. 105
10. Rossmann 2002 p. 91
11. Rossmann 2002 p. 92
12. Rossmann 2002 p. 105
13. Rossmann 2002 p. 107.
14. Rossmann 2002 p. 93
15. Rossmann 2002 p. 95.
16. Rossmann 2002 p. 94.
17. Goodman & Wallach 2009 Ejercicio 14, Sección 1.1.
18. Rossmann 2002 p. 94.
19. Goodman & Wallach 2009 Ejercicio 11, Capítulo 1.
20. Rossmann 2002 p. 94.
21. Goodman y Wallach 2009 p.11.
22. Goodman & Wallach 2009 Ejercicio 12 Capítulo 1.
23. Wybourne, BG (1974). Grupos clásicos para físicos , Wiley-Interscience. ISBN  0471965057 .

Referencias

• E. Artin (1957) Álgebra geométrica , interesciencia
• Dieudonné, Jean (1955), La géométrie des groupes classiques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (NF), Heft 5, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, MR  0072144
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (2009), Simetría, representaciones e invariantes , Textos de posgrado en matemáticas, 255 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-79851-6
• Knapp, AW (2002). Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. 120 (2ª ed.). Boston · Basilea · Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
• VL Popov (2001) [1994], "Grupo clásico" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9