Teorema de napoleón
En geometría , el teorema de Napoleón establece que si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo , ya sea hacia afuera o hacia adentro, las líneas que conectan los centros de esos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.
El triángulo así formado se llama triángulo de Napoleón interior o exterior . La diferencia en las áreas de los triángulos de Napoleón exterior e interior es igual al área del triángulo original.
El teorema se atribuye a menudo a Napoleón Bonaparte (1769-1821). Algunos han sugerido que puede remontarse a la pregunta de 1825 de W. Rutherford publicada en The Ladies 'Diary , cuatro años después de la muerte del emperador francés, [1] [2] pero el resultado se cubre en tres preguntas establecidas en un examen para un Gold Medalla en la Universidad de Dublín en octubre de 1820, mientras que Napoleón murió en mayo siguiente.
En la figura anterior, ABC es el triángulo original. AZB, BXC y CYA son triángulos equiláteros construidos en el exterior de sus lados, y los puntos L, M y N son los centroides de esos triángulos. El teorema de los triángulos exteriores establece que el triángulo LMN ( verde ) es equilátero.
Una forma rápida de ver que el triángulo LMN es equilátero es observar que MN se convierte en CZ bajo una rotación en el sentido de las agujas del reloj de 30 ° alrededor de A y una homotecia de razón √ 3 con el mismo centro, y que LN también se convierte en CZ después de una rotación en sentido antihorario de 30 ° alrededor de B y una homotecia de razón √ 3 con el mismo centro. Las respectivas similitudes espirales [3] son A ( √ 3 , -30 °) y B ( √ 3 , 30 °). Eso implica MN = LN y el ángulo entre ellos debe ser de 60 °. [4]
De hecho, hay muchas pruebas del enunciado del teorema, incluida una sintética (sin coordenadas) , [5] una trigonométrica , [6] un enfoque basado en la simetría , [7] y pruebas que utilizan números complejos . [6]
