En matemáticas, la desigualdad isoperimétrica es una desigualdad geométrica que involucra el perímetro de un conjunto y su volumen. En-espacio dimensional la desigualdad limita el área de la superficie o el perímetro de un conjunto por su volumen ,
- ,
dónde es una esfera unitaria . La igualdad se mantiene solo cuando es una esfera en .
En un avión, es decir, cuando , la desigualdad isoperimétrica relaciona el cuadrado de la circunferencia de una curva cerrada y el área de una región plana que encierra. Isoperimétrico significa literalmente "tener el mismo perímetro ". Específicamente en, la desigualdad isoperimétrica establece, para la longitud L de una curva cerrada y el área A de la región plana que encierra, que
y esa igualdad es válida si y solo si la curva es un círculo.
El problema isoperimétrico es determinar una figura plana del área más grande posible cuyo límite tiene una longitud especificada. [1] El problema de Dido, estrechamente relacionado , pide una región del área máxima delimitada por una línea recta y un arco curvilíneo cuyos extremos pertenezcan a esa línea. Lleva el nombre de Dido , la legendaria fundadora y primera reina de Cartago . La solución al problema isoperimétrico viene dada por un círculo y ya se conocía en la Antigua Grecia . Sin embargo, la primera prueba matemáticamente rigurosa de este hecho se obtuvo solo en el siglo XIX. Desde entonces, se han encontrado muchas otras pruebas.
El problema isoperimétrico se ha extendido de múltiples formas, por ejemplo, a curvas en superficies y regiones en espacios de dimensiones superiores. Quizás la manifestación física más familiar de la desigualdad isoperimétrica tridimensional es la forma de una gota de agua. Es decir, una gota asumirá típicamente una forma redonda simétrica. Dado que la cantidad de agua en una gota es fija, la tensión superficial fuerza a la gota a adoptar una forma que minimiza el área de la superficie de la gota, es decir, una esfera redonda.
El problema isoperimétrico en el avión
El problema isoperimétrico clásico se remonta a la antigüedad. [2] El problema se puede plantear de la siguiente manera: Entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de su región encerrada? Se puede demostrar que esta pregunta es equivalente al siguiente problema: Entre todas las curvas cerradas en el plano que encierra un área fija, ¿qué curva (si la hay) minimiza el perímetro?
Este problema se relaciona conceptualmente con el principio de mínima acción de la física , en el sentido de que puede reformularse: ¿cuál es el principio de acción que encierra la mayor área, con la mayor economía de esfuerzo? El filósofo y científico del siglo XV, el cardenal Nicolás de Cusa , consideraba que la acción rotacional , el proceso mediante el cual se genera un círculo , es el reflejo más directo, en el ámbito de las impresiones sensoriales, del proceso mediante el cual se crea el universo. El astrónomo y astrólogo alemán Johannes Kepler invocó el principio isoperimétrico al discutir la morfología del sistema solar, en Mysterium Cosmographicum ( El misterio sagrado del cosmos , 1596).
Aunque el círculo parece ser una solución obvia al problema, demostrar este hecho es bastante difícil. El primer progreso hacia la solución fue realizado por el geómetra suizo Jakob Steiner en 1838, utilizando un método geométrico más tarde llamado simetrización de Steiner . [3] Steiner demostró que si existía una solución, entonces debía ser el círculo. La demostración de Steiner fue completada más tarde por varios otros matemáticos.
Steiner comienza con algunas construcciones geométricas que se entienden fácilmente; por ejemplo, se puede mostrar que cualquier curva cerrada que encierre una región que no sea completamente convexa puede modificarse para encerrar más área, "volteando" las áreas cóncavas para que se vuelvan convexas. Además, se puede mostrar que cualquier curva cerrada que no sea completamente simétrica se puede "inclinar" para que encierre más área. La única forma que es perfectamente convexa y simétrica es el círculo, aunque esto, en sí mismo, no representa una prueba rigurosa del teorema isoperimétrico (ver enlaces externos).
En un avión
La solución al problema isoperimétrico generalmente se expresa en forma de una desigualdad que relaciona la longitud L de una curva cerrada y el área A de la región plana que encierra. La desigualdad isoperimétrica establece que
y que la igualdad se mantiene si y solo si la curva es un círculo. El área de un disco de radio R es πR 2 y la circunferencia del círculo es 2 πR , por lo que ambos lados de la desigualdad son iguales a 4 π 2 R 2 en este caso.
Se han encontrado docenas de pruebas de la desigualdad isoperimétrica. En 1902, Hurwitz publicó una prueba corta utilizando la serie de Fourier que se aplica a curvas rectificables arbitrarias (que no se supone que sean suaves). E. Schmidt en 1938 dio una elegante demostración directa basada en la comparación de una curva cerrada simple suave con un círculo apropiado. Utiliza solo la fórmula de la longitud del arco , la expresión para el área de una región plana del teorema de Green y la fórmula de Cauchy: Desigualdad de Schwarz .
Para una curva cerrada dada, el cociente isoperimétrico se define como la razón entre su área y la del círculo que tiene el mismo perímetro. Esto es igual a
y la desigualdad isoperimétrica dice que Q ≤ 1. De manera equivalente, la relación isoperimétrica L 2 / A es al menos 4 π para cada curva.
El cociente isoperimétrico de un n -gon regular es
Dejar ser una curva cerrada convexa regular suave. Entonces, la desigualdad isoperimétrica mejorada establece lo siguiente
dónde denotar la longitud de , el área de la región delimitada por y la zona orientada del cáustico Wigner de, respectivamente, y la igualdad se mantiene si y solo si es una curva de ancho constante . [4]
En una esfera
Deje C ser una curva cerrada simple en una esfera de radio 1. denotamos por L la longitud de C y por A el área encerrada por C . La desigualdad isoperimétrica esférica establece que
y que la igualdad se mantiene si y solo si la curva es un círculo. De hecho, hay dos formas de medir el área esférica encerrada por una curva cerrada simple, pero la desigualdad es simétrica con respecto a tomar el complemento.
Esta desigualdad fue descubierta por Paul Lévy (1919) quien también la extendió a dimensiones superiores y superficies generales. [5]
En el caso más general de radio arbitrario R , se sabe [6] que
En
La desigualdad isoperimétrica establece que una esfera tiene el área de superficie más pequeña por volumen dado. Dado un conjunto acotadocon superficie y volumen , la desigualdad isoperimétrica establece
- ,
dónde es una bola unitaria . La igualdad se mantiene cuando hay una bola en . Bajo restricciones adicionales en el conjunto (como convexidad , regularidad , límites suaves ), la igualdad es válida solo para una pelota. Pero en general, la situación es más complicada. El resultado relevante de Schmidt (1949 , secc. 20.7) (para una demostración más simple, ver Baebler (1957) ) se aclara en Hadwiger (1957 , secc. 5.2.5) de la siguiente manera. Un conjunto extremo consta de una bola y una "corona" que no contribuye ni al volumen ni a la superficie. Es decir, la igualdad es válida para un conjunto compacto. si y solo si contiene una bola cerrada tal que y Por ejemplo, la "corona" puede ser una curva.
La prueba de la desigualdad se deriva directamente de la desigualdad de Brunn-Minkowski entre un conjunto y una bola con radio , es decir . Al llevar la desigualdad de Brunn-Minkowski al poder, restando de ambos lados, dividiéndolos por , y tomando el límite como ( Osserman (1978) ; Federer (1969 , §3.2.43)).
En total generalidad ( Federer 1969 , §3.2.43), la desigualdad isoperimétrica establece que para cualquier conjuntocuyo cierre tiene medida de Lebesgue finita
dónde es el contenido de Minkowski ( n -1) -dimensional , L n es la medida de Lebesgue n- dimensional, y ω n es el volumen de la bola unitaria en. Si el límite de S es rectificable , entonces el contenido de Minkowski es la medida de Hausdorff ( n -1) dimensional .
La desigualdad isoperimétrica n- dimensional es equivalente (para dominios suficientemente suaves) a la desigualdad de Sobolev en con constante óptima:
para todos .
En colectores de Hadamard
Los colectores Hadamard son colectores completos simplemente conectados con curvatura no positiva. Así generalizan el espacio euclidiano, que es una variedad Hadamard con curvatura cero. En la década de 1970 y principios de la de 1980 , Thierry Aubin , Misha Gromov , Yuri Burago y Viktor Zalgaller conjeturaron que la desigualdad isoperimétrica euclidiana
se mantiene para conjuntos acotados en variedades de Hadamard, que se conoce como la conjetura de Cartan-Hadamard . En la dimensión 2 esto ya había sido establecido en 1926 por André Weil , quien era un estudiante de Hadamard en ese momento. En las dimensiones 3 y 4, la conjetura fue probada por Bruce Kleiner en 1992 y Chris Croke en 1984, respectivamente.
En un espacio de medida métrica
La mayor parte del trabajo sobre el problema isoperimétrico se ha realizado en el contexto de regiones suaves en espacios euclidianos , o más generalmente, en variedades de Riemann . Sin embargo, el problema isoperimétrico se puede formular con mucha mayor generalidad, utilizando la noción de contenido de Minkowski . Dejarser un espacio de medida métrica : X es un espacio métrico con la métrica d , y μ es una medida de Borel en X . La medida de frontera , o contenido de Minkowski , de un subconjunto medible A de X se define como el límite inf
dónde
es la ε- extensión de A .
El problema isoperimétrico en X pregunta qué tan pequeño puedeser para un μ ( A ) dado . Si X es el plano euclidiano con la distancia habitual y la medida de Lebesgue, entonces esta pregunta generaliza el problema isoperimétrico clásico a regiones planas cuyo límite no es necesariamente liso, aunque la respuesta resulta ser la misma.
La función
se llama perfil isoperimétrico del espacio de medida métrica. Se han estudiado perfiles isoperimétricos para gráficos de Cayley de grupos discretos y para clases especiales de variedades de Riemann (donde normalmente solo se consideran las regiones A con límite regular).
Para gráficos
En la teoría de grafos , las desigualdades isoperimétricas están en el centro del estudio de los gráficos expansores , que son gráficos dispersos que tienen fuertes propiedades de conectividad. Las construcciones expansivas han generado investigaciones en matemáticas puras y aplicadas, con varias aplicaciones a la teoría de la complejidad , el diseño de redes informáticas robustas y la teoría de códigos de corrección de errores . [7]
Las desigualdades isoperimétricas para gráficos relacionan el tamaño de los subconjuntos de vértices con el tamaño de su límite, que generalmente se mide por el número de aristas que salen del subconjunto (expansión de aristas) o por el número de vértices vecinos (expansión de vértices). Para un gráfico y un numero , los siguientes son dos parámetros isoperimétricos estándar para gráficos. [8]
- El parámetro isoperimétrico de borde:
- El parámetro isoperimétrico de vértice:
Aquí denota el conjunto de bordes que salen y denota el conjunto de vértices que tienen un vecino en . El problema isoperimétrico consiste en comprender cómo los parámetros y comportarse para familias naturales de gráficos.
Ejemplo: desigualdades isoperimétricas para hipercubos
La dimensional hipercubo es el gráfico cuyos vértices son todos vectores booleanos de longitud , es decir, el conjunto . Dos de estos vectores están conectados por una arista ensi son iguales hasta un solo bit flip, es decir, su distancia de Hamming es exactamente uno. Las siguientes son las desigualdades isoperimétricas para el hipercubo booleano. [9]
Desigualdad isoperimétrica de aristas
La desigualdad isoperimétrica del borde del hipercubo es . Este límite es estrecho, como lo atestigua cada conjunto. que es el conjunto de vértices de cualquier subcubo de .
Desigualdad isoperimétrica del vértice
El teorema de Harper [10] dice que las bolas de Hamming tienen el límite de vértice más pequeño entre todos los conjuntos de un tamaño dado. Las bolas de Hamming son conjuntos que contienen todos los puntos de peso de Hamming como máximo. y ningún punto de peso Hamming mayor que por algún entero . Este teorema implica que cualquier conjunto con
satisface
- [11]
Como caso especial, considere los tamaños de conjuntos de la forma
por algún entero . Entonces lo anterior implica que el parámetro isoperimétrico del vértice exacto es
- [12]
Desigualdad isoperimétrica para triángulos
La desigualdad isoperimétrica para triángulos en términos de perímetro py área T establece que [13] [14]
con igualdad para el triángulo equilátero . Esto está implicado, a través de la desigualdad AM-GM , por una desigualdad más fuerte que también se ha llamado desigualdad isoperimétrica para triángulos: [15]
Ver también
- Teorema de Blaschke-Lebesgue
- Problema de Chaplygin
- Flujo de acortamiento de curvas
- Gráfico expansor
- Desigualdad isoperimétrica gaussiana
- Dimensión isoperimétrica
- Punto isoperimétrico
- Lista de desigualdades de triángulos
- Teorema del separador plano
- Volumen mixto
Notas
- ^ Blåsjö, Viktor (2005). "La evolución del problema isoperimétrico" . Amer. Matemáticas. Mensual . 112 (6): 526–566. doi : 10.2307 / 30037526 . JSTOR 30037526 .
- ^ Olmo, Carlos Beltrán, Irene (4 de enero de 2021). "Sobre mates y mitos" . EL PAÍS (en español) . Consultado el 14 de enero de 2021 .
- ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze , J. reine angew Math. 18 , (1838), págs. 281-296; y Gesammelte Werke vol. 2, págs. 77-91, Reimer, Berlín, (1882).
- ^ Zwierzyński, Michał (2016). "La desigualdad isoperimétrica mejorada y el cáustico de Wigner de óvalos planos". J. Math. Anal. Apl . 442 (2): 726–739. arXiv : 1512.06684 . doi : 10.1016 / j.jmaa.2016.05.016 .
- ^ Gromov, Mikhail; Pansu, Pierre (2006). "Apéndice C. Desigualdad isoperimétrica de Paul Levy" . Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Clásicos modernos de Birkhäuser. Dordrecht: Springer. pag. 519. ISBN 9780817645830.
- ^ Osserman, Robert . "La Desigualdad Isoperimétrica". Boletín de la American Mathematical Society. 84.6 (1978) http://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/S0002-9904-1978-14553-4.pdf
- ^ Hoory, Linial y Widgerson (2006)
- ^ Definiciones 4.2 y 4.3 de Hoory, Linial & Widgerson (2006)
- ^ Ver Bollobás (1986) y Sección 4 en Hoory, Linial & Widgerson (2006)
- ^ Cf. Calabro (2004) o Bollobás (1986)
- ^ cf. Líder (1991)
- ^ También se indica en Hoory, Linial & Widgerson (2006)
- ^ Chakerian, GD "Una vista distorsionada de la geometría". Ch. 7 en Ciruelas matemáticas (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979: 147.
- ^ "La desigualdad isoperimétrica para triángulos" .
- ^ Dragutin Svrtan y Darko Veljan, "Versiones no euclidianas de algunas desigualdades clásicas del triángulo", Forum Geometricorum 12, 2012, 197-209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217.pdf
Referencias
- Blaschke y Leichtweiß, Elementare Differentialgeometrie (en alemán), 5ª edición, completamente revisada por K. Leichtweiß. Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, Band 1. Springer-Verlag , Nueva York Heidelberg Berlín, 1973 ISBN 0-387-05889-3
- Bollobás, Béla (1986). Combinatoria: sistemas de conjuntos, hipergráficos, familias de vectores y probabilidad combinatoria . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-33703-8.
- Burago (2001) [1994], "Desigualdad isoperimétrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Calabro, Chris (2004). "Teorema de Harper" (PDF) . Consultado el 8 de febrero de 2011 .
- Capogna, Luca; Donatella Danielli; Scott Pauls; Jeremy Tyson (2007). Introducción al grupo de Heisenberg y al problema isoperimétrico subriemanniano . Birkhäuser Verlag . ISBN 978-3-7643-8132-5.
- Fenchel , Werner ; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3 . Berlín: 1. Verlag von Julius Springer.
- Fenchel , Werner ; Bonnesen, Tommy (1987). Teoría de los cuerpos convexos . Moscú, Idaho: L. Boron, C. Christenson y B. Smith. Asociados BCS.
- Federer, Herbert (1969). Teoría de la medida geométrica . Springer-Verlag. ISBN 3-540-60656-4..
- Gromov, M .: "Desigualdad isoperimétrica de Paul Levy". Apéndice C en Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Basado en el original francés de 1981. Con apéndices de M. Katz, P. Pansu y S. Semmes. Traducido del francés por Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Massachusetts, 1999.
- Hadwiger, Hugo (1957). Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie . Springer-Verlag..
- Hoory, Shlomo; Linial, Nathan ; Widgerson, Avi (2006). "Gráficos expansores y sus aplicaciones" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . Series nuevas. 43 (4): 439–561. doi : 10.1090 / S0273-0979-06-01126-8 .
- Líder, Imre (1991). "Desigualdades isoperimétricas discretas". Actas de simposios en matemáticas aplicadas . 44 . págs. 57–80.
- Osserman, Robert (1978). "La desigualdad isoperimétrica" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 84 (6): 1182-1238. doi : 10.1090 / S0002-9904-1978-14553-4 ..
- Zwierzyński, Michał (2016). "La desigualdad isoperimétrica mejorada y el cáustico de Wigner de óvalos planos". J. Math. Anal. Apl . 442 (2): 726–739. arXiv : 1512.06684 . doi : 10.1016 / j.jmaa.2016.05.016 .
- Schmidt, Erhard (1949). "Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Hugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. II". Matemáticas. Nachr . 2 (3–4): 171–244. doi : 10.1002 / mana.19490020308 ..
- Baebler, F. (1957). "Problema de Zum isoperimetrischen". Arco. Matemáticas. (Basilea) . 8 : 52–65. doi : 10.1007 / BF01898439 ..
enlaces externos
- Historia del problema isoperimétrico en la convergencia
- Treiberg: varias pruebas de la desigualdad isoperimétrica
- Teorema isoperimétrico en el corte del nudo