Estado de Werner

Un estado de Werner ^[1] es una matriz de densidad de estado cuántico bipartita × -dimensional que es invariante bajo todos los operadores unitarios de la forma . Es decir, es un estado cuántico bipartito que satisface${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle U\otimes U}$ ${\displaystyle \rho _{AB}}$

${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger })}$

para todos los operadores unitarios U que actúan en el espacio d- dimensional de Hilbert. Desarrollado por primera vez por Reinhard Werner en 1989.

Cada estado de Werner es una mezcla de proyectores sobre los subespacios simétrico y antisimétrico , siendo el peso relativo el principal parámetro que define el estado, además de la dimensión :${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}}$ ${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}=p{\frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{\text{sym}}+(1-p){\frac {2}{d(d-1)}}P_{AB}^{\text{as}},}$

donde

${\displaystyle P_{AB}^{\text{sym}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}+F_{AB}),}$

${\displaystyle P_{AB}^{\text{as}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}-F_{AB}),}$

son los proyectores y

${\displaystyle F_{AB}=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|_{A}\otimes |j\rangle \langle i|_{B}}$

es la permutación o flip operador que intercambia los dos subsistemas A y B .

Los estados de Werner son separables para p ≥ 1 ⁄ 2 y entrelazados para p < 1 ⁄ 2 . Todos los estados de Werner entrelazados violan el criterio de separabilidad de PPT , pero para d ≥ 3 ningún estado de Werner viola el criterio de reducción más débil . Los estados de Werner se pueden parametrizar de diferentes formas. Una forma de escribirlos es

${\displaystyle \rho _{AB}={\frac {1}{d^{2}-d\alpha }}(I_{AB}-\alpha F_{AB}),}$

donde el nuevo parámetro α varía entre -1 y 1 y se relaciona ap como

${\displaystyle \alpha =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).}$

Canales de Werner-Holevo

Un canal cuántico de Werner-Holevo con parámetros y números enteros se define como ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}}$${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$${\displaystyle d\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}},}$

donde los canales cuánticos y se definen como${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}(X_{A})={\frac {1}{d+1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}(X_{A})={\frac {1}{d-1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

y denota la transposición parcial mapa en el sistema A . Tenga en cuenta que el estado Choi del canal Werner-Holevo es un estado Werner:${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{p,d}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}(\Phi _{RA})=p{\frac {2}{d\left(d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_{RB}^{\text{as}},}$

donde .${\displaystyle \Phi _{RA}={\frac {1}{d}}\sum _{i,j}|i\rangle \langle j|_{R}\otimes |i\rangle \langle j|_{A}}$

Estados Werner multipartitos

Los estados de Werner se pueden generalizar al caso multipartito. ^[5] Un estado de Werner de N -party es un estado que es invariante para cualquier U unitario en un solo subsistema. El estado de Werner ya no se describe con un solo parámetro, sino con N ! - 1 parámetros, y es una combinación lineal de N ! diferentes permutaciones en N sistemas.${\displaystyle U\otimes U\otimes ...\otimes U}$

Referencias

1. Reinhard F. Werner (1989). "Estados cuánticos con correlaciones de Einstein-Podolsky-Rosen que admiten un modelo de variable oculta". Physical Review A . 40 (8): 4277–4281. Código Bibliográfico : 1989PhRvA..40.4277W . doi : 10.1103 / PhysRevA.40.4277 . PMID 9902666 . 
2. Reinhard F. Werner y Alexander S. Holevo (2002). "Contraejemplo a una conjetura de aditividad para la pureza de salida de los canales cuánticos". Revista de Física Matemática . 43 (9): 4353–4357. doi : 10.1063 / 1.1498491 .
3. Mark Fannes, B. Haegeman, Milan Mosonyi y D. Vanpeteghem (2004). "Aditividad de salida de entropía mínima para una clase de canales covariantes". arXiv : quant-ph / 0410195 .
4. Debbie Leung y William Matthews (2015). "Sobre el poder de los códigos de preservación y no señalización de PPT". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 61 (8): 4486–4499. doi : 10.1109 / TIT.2015.2439953 .
5. Eggeling y col. (2008)