Criterio de Peres-Horodecki

Criterio en la teoría de la información cuántica

El criterio de Peres-Horodecki es una condición necesaria, para que la matriz de densidad conjunta de dos sistemas mecánicos cuánticos y , sea separable . También se denomina criterio PPT , para transposición parcial positiva . En los casos dimensionales 2x2 y 2x3, la condición también es suficiente. Se utiliza para decidir la separabilidad de estados mixtos , donde no se aplica la descomposición de Schmidt . El teorema fue descubierto en 1996 por Asher Peres ^[1] y la familia Horodecki ( Michał , Paweł y Ryszard ) ^[2]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

En dimensiones superiores, la prueba no es concluyente, y se debe complementar con pruebas más avanzadas, como las basadas en testigos de enredos .

Definición

Si tenemos un estado general que actúa sobre${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Su transposición parcial (con respecto a la parte B) se define como

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Tenga en cuenta que el parcial en el nombre implica que solo se transpone una parte del estado. Más precisamente, se aplica el mapa de identidad al partido A y el mapa de transposición al partido B.${\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$

Esta definición se puede ver más claramente si escribimos el estado como una matriz de bloques:

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}}$

Donde , y cada bloque es una matriz cuadrada de dimensión . Entonces la transposición parcial es${\displaystyle n=\dim {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle m=\dim {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}}$

El criterio establece que si es separable, entonces todos los valores propios de son no negativos. En otras palabras, si tiene un valor propio negativo, se garantiza que se enredará . Lo contrario de estas afirmaciones es cierto si y solo si la dimensión del espacio del producto es o .${\displaystyle \rho \;\!}$${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$${\displaystyle \rho \;\!}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 2\times 3}$

El resultado es independiente del partido que se transpuso, porque .${\displaystyle \rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}}$

Ejemplo

Considere esta familia de 2 qubit de estados de Werner :

${\displaystyle \rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

Puede considerarse como la combinación convexa de un estado entrelazado al máximo y la identidad, el estado mezclado al máximo .${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }$

Su matriz de densidad es

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

y la transposición parcial

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

Su valor propio mínimo es . Por lo tanto, el estado está enredado .${\displaystyle (1-3p)/4}$${\displaystyle 1\geq p>1/3}$

Demostración

Si ρ es separable, se puede escribir como

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}$

En este caso, el efecto de la transposición parcial es trivial:

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=I\otimes T(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}}$

Como el mapa de transposición conserva los valores propios, el espectro de es el mismo que el espectro de y, en particular, debe seguir siendo semidefinito positivo. Por tanto , también debe ser positivo semidefinido. Esto prueba la necesidad del criterio PPT.${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$${\displaystyle \rho _{i}^{B}\;\!}$${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$

Mostrar que ser PPT también es suficiente para los casos 2 X 2 y 3 X 2 (equivalentemente 2 X 3) es más complicado. Los Horodeckis demostraron que por cada estado enredado existe un testigo de enredo . Este es el resultado de la naturaleza geométrica e invoca el teorema de Hahn-Banach (ver la referencia a continuación).

A partir de la existencia de testigos de entrelazamiento, se puede demostrar que ser positivo para todos los mapas positivos Λ es una condición necesaria y suficiente para la separabilidad de ρ, donde Λ se asigna a${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$

Además, cada mapa positivo desde hasta puede descomponerse en una suma de mapas completamente positivos y completamente copositivos, cuando y . En otras palabras, todos estos mapas Λ se pueden escribir como${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3}$

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,}$

donde y son completamente positivos y T es el mapa de transposición. Esto se sigue del teorema de Størmer-Woronowicz.${\displaystyle \Lambda _{1}}$${\displaystyle \Lambda _{2}}$

En términos generales, el mapa de transposición es, por tanto, el único que puede generar valores propios negativos en estas dimensiones. Entonces, si es positivo, es positivo para cualquier Λ. Por lo tanto, concluimos que el criterio de Peres-Horodecki también es suficiente para la separabilidad cuando .${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6}$

En dimensiones superiores, sin embargo, existen mapas que no se pueden descomponer de esta manera, y el criterio ya no es suficiente. En consecuencia, hay estados entrelazados que tienen una transposición parcial positiva. Tales estados tienen la interesante propiedad de que están ligados entrelazados , es decir, no pueden destilarse con fines de comunicación cuántica .

Sistemas de variables continuas

El criterio de Peres-Horodecki se ha extendido a sistemas de variables continuas. Simon ^[3] formuló una versión particular del criterio PPT en términos de los momentos de segundo orden de los operadores canónicos y demostró que es necesario y suficiente para los estados gaussianos en modo-(ver Ref. ^[4] para una apariencia aparentemente diferente pero esencialmente equivalente Acercarse). Más tarde se descubrió ^[5] que la condición de Simon también es necesaria y suficiente para los estados en modo gaussiano, pero ya no es suficiente para los estados en modo gaussiano. La condición de Simon se puede generalizar teniendo en cuenta los momentos de orden superior de los operadores canónicos ^{[6] [7]} o utilizando medidas entrópicas. ^[8]${\displaystyle 1\oplus 1}$${\displaystyle 1\oplus n}$${\displaystyle 2\oplus 2}$^[9]

Sistemas simétricos

Para estados simétricos de sistemas bipartitos, la positividad de la transposición parcial de la matriz de densidad está relacionada con el signo de ciertas correlaciones de dos cuerpos. Aquí, la simetría significa que

${\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

mantiene, donde está el operador flip o swap intercambiando las dos partes y . Una base completa del subespacio simétrico es de la forma con y Aquí para y debe sostenerse, donde está la dimensión de las dos partes.${\displaystyle F_{AB}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle m\neq n}$${\displaystyle \vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$${\displaystyle d}$

Se puede demostrar que para tales estados, tiene una transposición parcial positiva si y solo si ^[10]${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0}$

Se cumple para todos los operadores Por lo tanto, si se cumple para algunos , el estado posee entrelazamiento no PPT .${\displaystyle M.}$${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0}$${\displaystyle M}$

Referencias

1. Peres, Asher (19 de agosto de 1996). "Criterio de separabilidad para matrices de densidad" . Cartas de revisión física . 77 (8): 1413–1415. arXiv : quant-ph / 9604005 . doi : 10.1103 / PhysRevLett.77.1413 . ISSN  0031-9007 .
2. Horodecki, Michał; Horodecki, Paweł; Horodecki, Ryszard (1996). "Separabilidad de estados mixtos: condiciones necesarias y suficientes" . Physics Letters A . 223 (1–2): 1–8. arXiv : quant-ph / 9605038 . doi : 10.1016 / S0375-9601 (96) 00706-2 .
3. Simon, R. (2000). "Criterio de separabilidad de Peres-Horodecki para sistemas de variables continuas". Cartas de revisión física . 84 (12): 2726–2729. arXiv : quant-ph / 9909044 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..84.2726S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.84.2726 . PMID 11017310 . 
4. Duan, Lu-Ming; Giedke, G .; Cirac, JI; Zoller, P. (2000). "Criterio de inseparabilidad para sistemas de variables continuas". Cartas de revisión física . 84 (12): 2722–2725. arXiv : quant-ph / 9908056 . Código Bibliográfico : 2000PhRvL..84.2722D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.84.2722 . PMID 11017309 . 
5. Werner, RF; Wolf, MM (2001). "Estados gaussianos entrelazados enlazados". Cartas de revisión física . 86 (16): 3658–3661. arXiv : quant-ph / 0009118 . Código Bibliográfico : 2001PhRvL..86.3658W . doi : 10.1103 / PhysRevLett.86.3658 . PMID 11328047 . 
6. Shchukin, E .; Vogel, W. (2005). "Criterios de inseparabilidad para estados cuánticos bipartitos continuos". Cartas de revisión física . 95 (23): 230502. arXiv : quant-ph / 0508132 . Código Bibliográfico : 2005PhRvL..95w0502S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.95.230502 . PMID 16384285 . 
7. Hillery, Mark; Zubairy, M. Suhail (2006). "Condiciones de entrelazamiento para estados de dos modos". Cartas de revisión física . 96 (5): 050503. arXiv : quant-ph / 0507168 . Código Bibliográfico : 2006PhRvL..96e0503H . doi : 10.1103 / PhysRevLett.96.050503 . PMID 16486912 . 
8. Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Toscano, F .; de Matos Filho, R. (2009). "Criterios de enredo entrópico para variables continuas". Cartas de revisión física . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Código Bibliográfico : 2009PhRvL.103p0505W . doi : 10.1103 / PhysRevLett.103.160505 . PMID 19905682 . 
9. Yichen Huang (octubre de 2013). "Detección de enredos: complejidad y criterios entrópicos de Shannon". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 59 (10): 6774–6778. doi : 10.1109 / TIT.2013.2257936 .
10. Tóth, Géza; Gühne, Otfried (1 de mayo de 2009). "Entrelazamiento y simetría permutacional". Cartas de revisión física . 102 (17): 170503. arXiv : 0812.4453 . doi : 10.1103 / PhysRevLett.102.170503 .

• Karol Życzkowski e Ingemar Bengtsson, Geometry of Quantum States , Cambridge University Press, 2006
• Woronowicz, SL (1976). "Mapas positivos de álgebras matriciales de baja dimensión". Representante de matemáticas. Phys . 10 (2): 165–183. Código Bibliográfico : 1976RpMP ... 10..165W . doi : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90038-0 .