En la teoría de la información cuántica , un canal cuántico es un canal de comunicación que puede transmitir información cuántica , así como información clásica. Un ejemplo de información cuántica es el estado de un qubit . Un ejemplo de información clásica es un documento de texto transmitido a través de Internet .
Más formalmente, los canales cuánticos son mapas de conservación de trazas completamente positivos (CP) entre espacios de operadores. En otras palabras, un canal cuántico es solo una operación cuántica vista no solo como la dinámica reducida de un sistema, sino como una tubería destinada a transportar información cuántica. (Algunos autores utilizan el término "operación cuántica" para incluir también mapas de trazas decrecientes mientras reservan el "canal cuántico" para mapas que preservan estrictamente trazas. [1] )
Canal cuántico sin memoria
Supondremos por el momento que todos los espacios de estados de los sistemas considerados, clásicos o cuánticos, son de dimensión finita.
El sin memoria en el título de la sección tiene el mismo significado que en la teoría de la información clásica : la salida de un canal en un momento dado depende solo de la entrada correspondiente y no de las anteriores.
Cuadro de Schrödinger
Considere los canales cuánticos que transmiten solo información cuántica. Ésta es precisamente una operación cuántica , cuyas propiedades resumimos ahora.
Dejar y ser los espacios de estado (espacios de Hilbert de dimensión finita ) de los extremos de envío y recepción, respectivamente, de un canal. denotará la familia de operadores en . En la imagen de Schrödinger , un canal puramente cuántico es un mapaentre matrices de densidad que actúan sobre y con las siguientes propiedades:
- Como lo requieren los postulados de la mecánica cuántica, necesita ser lineal.
- Dado que las matrices de densidad son positivas, Debe conservar el cono de elementos positivos. En otras palabras,es un mapa positivo .
- Si una ancilla de dimensión finita arbitraria n se acopla al sistema, entonces el mapa inducido, donde I n es el mapa de identidad de la ancilla, también debe ser positivo. Por lo tanto, se requiere quees positivo para todo n . Dichos mapas se denominan completamente positivos .
- Las matrices de densidad se especifican para tener traza 1, por lo que tiene que conservar el rastro.
Los adjetivos completamente positivos y de conservación de trazas que se utilizan para describir un mapa a veces se abrevian CPTP . En la literatura, a veces la cuarta propiedad se debilita de modo quesolo se requiere que no aumente el rastro. En este artículo, se asumirá que todos los canales son CPTP.
Cuadro de Heisenberg
Matrices de densidad que actúan sobre H A solamente constituyen un subconjunto propio de los operadores en H A y el mismo se puede decir para el sistema B . Sin embargo, una vez que un mapa lineal entre las matrices de densidad, un argumento de linealidad estándar, junto con el supuesto de dimensión finita, nos permite extender exclusivamente para el espacio completo de operadores. Esto conduce al mapa adjunto.* , que describe la acción deen la imagen de Heisenberg :
Los espacios de los operadores L ( H A ) y L ( H B ) son espacios de Hilbert con el producto interno de Hilbert-Schmidt . Por lo tanto, viendo como un mapa entre espacios de Hilbert, obtenemos su adjunto * dado por
Tiempo lleva los estados de A a los de B ,* Mapas observables en el sistema B a los observables en una . Esta relación es la misma que existe entre las descripciones de dinámica de Schrödinger y Heisenberg. Las estadísticas de medición permanecen sin cambios si los observables se consideran fijos mientras los estados se someten a operación o viceversa.
Se puede comprobar directamente que si se supone que conserva el rastro, * es unital , es decir,* ( Yo ) = yo . Físicamente hablando, esto significa que, en la imagen de Heisenberg, lo trivial observable sigue siendo trivial después de aplicar el canal.
Información clásica
Hasta ahora solo hemos definido un canal cuántico que transmite solo información cuántica. Como se indicó en la introducción, la entrada y salida de un canal también pueden incluir información clásica. Para describir esto, la formulación dada hasta ahora debe generalizarse un poco. Un canal puramente cuántico, en la imagen de Heisenberg, es un mapa lineal Ψ entre espacios de operadores:
que es unital y completamente positivo ( CP ). Los espacios de operador pueden verse como C * -álgebras de dimensión finita . Por lo tanto, podemos decir que un canal es un mapa de CP unital entre C * -algebras:
A continuación, se puede incluir información clásica en esta formulación. Los observables de un sistema clásico se puede suponer que ser un C conmutativa * -algebra, es decir, el espacio de las funciones continuas C ( X ) en un conjunto X . Suponemos que X es finito, por lo que C ( X ) se puede identificar con el espacio euclidiano n -dimensional con multiplicación por entrada.
Por lo tanto, en la imagen de Heisenberg, si la información clásica es parte de, digamos, la entrada, definiríamos para incluir los observables clásicos relevantes. Un ejemplo de esto sería un canal.
darse cuenta sigue siendo un álgebra C *. Un elemento a de un C * -álgebrase llama positivo si a = x * x para alguna x . La positividad de un mapa se define en consecuencia. Esta caracterización no es universalmente aceptada; el instrumento cuántico a veces se da como el marco matemático generalizado para transmitir información tanto cuántica como clásica. En las axiomatizaciones de la mecánica cuántica, la información clásica se transporta en un álgebra de Frobenius o categoría de Frobenius .
Ejemplos de
Estados
Un estado, visto como un mapeo de los observables a sus valores esperados, es un ejemplo inmediato de un canal.
Evolución del tiempo
Para un sistema puramente cuántico, la evolución en el tiempo, en cierto tiempo t , viene dada por
dónde y H es el hamiltoniano y t es el tiempo. Claramente, esto da un mapa CPTP en la imagen de Schrödinger y, por lo tanto, es un canal. El mapa dual en la imagen de Heisenberg es
Restricción
Considere un sistema cuántico compuesto con espacio de estados Por un estado
el estado reducido de ρ en el sistema A , ρ A , se obtiene tomando la traza parcial de ρ con respecto al sistema B :
La operación de rastreo parcial es un mapa CPTP, por lo tanto, un canal cuántico en la imagen de Schrödinger. En la imagen de Heisenberg, el mapa dual de este canal es
donde A es un observable de sistema A .
Observable
Un observable asocia un valor numérico a una mecánica cuántica efecto . se supone que son operadores positivos que actúan en el espacio de estado apropiado y . (Esta colección se llama POVM ). En la imagen de Heisenberg, el mapa observable correspondiente mapea un observable clásico
a la mecánica cuántica
En otras palabras, se integra f contra el POVM para obtener el observable mecánico cuántico. Se puede comprobar fácilmente que es CP y unital.
El mapa de Schrödinger correspondiente * lleva las matrices de densidad a estados clásicos:
donde el producto interno es el producto interno de Hilbert-Schmidt. Además, viendo los estados como funcionales normalizados e invocando el teorema de representación de Riesz , podemos poner
Instrumento
El mapa observable, en la imagen de Schrödinger, tiene un álgebra de salida puramente clásica y, por lo tanto, solo describe estadísticas de medición. Para tener también en cuenta el cambio de estado, definimos lo que se llama un instrumento cuántico . Dejarser los efectos (POVM) asociados a un observable. En la imagen de Schrödinger, un instrumento es un mapa. con entrada cuántica pura y con espacio de salida :
Dejar
El mapa dual en la imagen de Heisenberg es
dónde se define de la siguiente manera: Factor (esto siempre se puede hacer ya que los elementos de un POVM son positivos) entonces . Vemos eso es CP y unital.
Darse cuenta de da con precisión el mapa observable. El mapa
describe el cambio de estado general.
Canal de medición y preparación
Suponga que dos partes A y B desean comunicarse de la siguiente manera: A realiza la medición de un observable y comunica el resultado de la medición a B de manera clásica. Según el mensaje que recibe, B prepara su sistema (cuántico) en un estado específico. En la imagen de Schrödinger, la primera parte del canal1 consiste simplemente en que A haga una medición, es decir, es el mapa observable:
Si, en el caso de la i -ésima medición de los resultados, B prepara su sistema en el estado R i , la segunda parte del canal2 lleva el estado clásico anterior a la matriz de densidad
La operación total es la composición
Los canales de esta forma se denominan medir y preparar o en forma Holevo .
En la imagen de Heisenberg, el mapa dual es definido por
Un canal de medir y preparar no puede ser el mapa de identidad. Esta es precisamente la afirmación del teorema de no teletransportación , que dice que la teletransportación clásica (que no debe confundirse con la teletransportación asistida por entrelazamiento ) es imposible. En otras palabras, un estado cuántico no se puede medir de manera confiable.
En la dualidad canal-estado , un canal se mide y se prepara si y solo si el estado correspondiente es separable . En realidad, todos los estados que resultan de la acción parcial de un canal de medición y preparación son separables y, por esta razón, los canales de medición y preparación también se conocen como canales de ruptura de entrelazamientos.
Canal puro
Considere el caso de un canal puramente cuántico en la imagen de Heisenberg. Con el supuesto de que todo es de dimensión finita, es un mapa de CP unital entre espacios de matrices
Según el teorema de Choi sobre mapas completamente positivos , debe tomar la forma
donde N ≤ nm . Las matrices K i se denominan operadores de Kraus de(en honor al físico alemán Karl Kraus , quien los presentó). El número mínimo de operadores de Kraus se llama rango Kraus de. Un canal con rango Kraus 1 se llama puro . La evolución temporal es un ejemplo de canal puro. Esta terminología nuevamente proviene de la dualidad canal-estado. Un canal es puro si y solo si su estado dual es un estado puro.
Teletransportación
En la teletransportación cuántica , un emisor desea transmitir un estado cuántico arbitrario de una partícula a un receptor posiblemente distante. En consecuencia, el proceso de teletransportación es un canal cuántico. El aparato para el proceso en sí requiere un canal cuántico para la transmisión de una partícula de un estado entrelazado al receptor. La teletransportación se produce mediante una medición conjunta de la partícula enviada y la partícula entrelazada restante. Esta medición da como resultado información clásica que debe enviarse al receptor para completar la teletransportación. Es importante destacar que la información clásica se puede enviar después de que el canal cuántico haya dejado de existir.
En el escenario experimental
Experimentalmente, una implementación simple de un canal cuántico es la transmisión por fibra óptica (o espacio libre para el caso) de fotones individuales . Los fotones individuales se pueden transmitir hasta 100 km en fibra óptica estándar antes de que dominen las pérdidas. El tiempo de llegada del fotón ( entrelazamiento de intervalo de tiempo ) o la polarización se utilizan como base para codificar información cuántica con fines como la criptografía cuántica . El canal es capaz de transmitir no solo estados básicos (p. Ej. | 0>, | 1>) sino también superposiciones de ellos (p. Ej. | 0> + | 1>). La coherencia del estado se mantiene durante la transmisión a través del canal. Compare esto con la transmisión de pulsos eléctricos a través de cables (un canal clásico), donde solo se puede enviar información clásica (por ejemplo, 0 y 1).
Capacidad de canal
La norma CB de un canal
Antes de dar la definición de capacidad de canal, es necesario discutir la noción preliminar de la norma de delimitación completa , o norma cb de un canal. Al considerar la capacidad de un canal, debemos compararlo con un "canal ideal" . Por ejemplo, cuando las álgebras de entrada y salida son idénticas, podemos elegirpara ser el mapa de identidad. Tal comparación requiere una métrica entre canales. Dado que un canal puede verse como un operador lineal, es tentador utilizar la norma de operador natural . En otras palabras, la cercanía de al canal ideal puede ser definido por
Sin embargo, la norma del operador puede aumentar cuando tensamos con el mapa de identidad en alguna ancilla.
Para hacer que la norma del operador sea un candidato aún más indeseable, la cantidad
puede aumentar sin límite como La solución es introducir, para cualquier mapa lineal entre C * -algebras, la norma cb
Definición de capacidad de canal
El modelo matemático de un canal utilizado aquí es el mismo que el clásico .
Dejar ser un canal en la imagen de Heisenberg y ser un canal ideal elegido. Para hacer posible la comparación, es necesario codificar y decodificar Φ a través de dispositivos apropiados, es decir, consideramos la composición
donde E es un codificador y D es un decodificador. En este contexto, E y D son mapas de CP unitales con dominios apropiados. La cantidad de interés es el mejor de los casos :
asumiendo el mínimo todos los codificadores y decodificadores posibles.
Para transmitir palabras de longitud n , el canal ideal se debe aplicar n veces, por lo que consideramos la potencia del tensor
La operación describe n entradas sometidas a la operaciónindependientemente y es la contraparte mecánica cuántica de la concatenación . Del mismo modo, m invocaciones del canal corresponden a.
La cantidad
es por tanto una medida de la capacidad del canal para transmitir fielmente palabras de longitud n al ser invocado m veces.
Esto lleva a la siguiente definición:
- Un número real no negativo r es una tasa alcanzable de con respecto a Si
- Para todas las secuencias dónde y , tenemos
Una secuencia puede verse como la representación de un mensaje que posiblemente consta de un número infinito de palabras. La condición límite superior en la definición dice que, en el límite, se puede lograr una transmisión fiel invocando el canal no más de r veces la longitud de una palabra. También se puede decir que r es el número de letras por invocación del canal que se pueden enviar sin error.
La capacidad del canal de con respecto a , denotado por es el supremo de todos los tipos alcanzables.
Según la definición, es cierto que 0 es una tasa alcanzable para cualquier canal.
Ejemplos importantes
Como se dijo antes, para un sistema con álgebra observable , el canal ideal es por definición el mapa de identidad . Por lo tanto, para un sistema cuántico puramente n dimensional, el canal ideal es el mapa de identidad en el espacio de n × n matrices. Como un ligero abuso de notación, este canal cuántico ideal también se denotará por. De manera similar, un sistema clásico con álgebra de salidatendrá un canal ideal denotado por el mismo símbolo. Ahora podemos establecer algunas capacidades fundamentales del canal.
La capacidad de canal del canal ideal clásico. con respecto a un canal ideal cuántico es
Esto es equivalente al teorema de no teletransportación: es imposible transmitir información cuántica a través de un canal clásico.
Además, se mantienen las siguientes igualdades:
Lo anterior dice, por ejemplo, que un canal cuántico ideal no es más eficiente para transmitir información clásica que un canal clásico ideal. Cuando n = m , lo mejor que se puede lograr es un bit por qubit .
Es importante señalar aquí que los dos límites de capacidades anteriores pueden romperse con la ayuda del entrelazamiento . El esquema de teletransportación asistido por entrelazamiento permite transmitir información cuántica utilizando un canal clásico. Codificación superdensa . alcanza dos bits por qubit . Estos resultados indican el papel significativo que juega el entrelazamiento en la comunicación cuántica.
Capacidades de canales clásicos y cuánticos
Utilizando la misma notación que en la subsección anterior, la capacidad clásica de un canal Ψ es
es decir, es la capacidad de Ψ con respecto al canal ideal en el sistema clásico de un bit .
De manera similar, la capacidad cuántica de Ψ es
donde el sistema de referencia es ahora el sistema de un qubit .
Fidelidad del canal
Otra medida de qué tan bien un canal cuántico conserva la información se llama fidelidad del canal , y surge de la fidelidad de los estados cuánticos .
Canal cuántico bistocástico
Un canal cuántico bistocástico es un canal cuántico que es unital , [2] es decir.
Ver también
- Teorema de no comunicación
- Canal de amortiguación de amplitud
Referencias
- ^ Weedbrook, Christian; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolas J .; Ralph, Timothy C .; Shapiro, Jeffrey H .; Lloyd, Seth (2012). "Información cuántica gaussiana". Reseñas de Física Moderna . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Código Bibliográfico : 2012RvMP ... 84..621W . doi : 10.1103 / RevModPhys.84.621 .
- ^ John A. Holbrook, David W. Kribs y Raymond Laflamme. "Subsistemas silenciosos y la estructura del conmutador en la corrección de errores cuánticos". Procesamiento de información cuántica . Volumen 2, Número 5, p. 381-419. Octubre de 2003.
- M. Keyl y RF Werner, Cómo corregir pequeños errores cuánticos , Notas de la conferencia en Física Volumen 611, Springer, 2002.
- Wilde, Mark M. (2017), Teoría de la información cuántica , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017 / 9781316809976.001.