En matemáticas , el lema de Weyl , llamado así por Hermann Weyl , establece que toda solución débil de la ecuación de Laplace es una solución uniforme . Esto contrasta con la ecuación de onda , por ejemplo, que tiene soluciones débiles que no son soluciones suaves. La lema de Weyl es un caso especial de regularidad elíptica o hipoelíptica .
Declaración del lema
Dejar ser un subconjunto abierto de-espacio euclidiano dimensional , y deja denotar el operador habitual de Laplace . El lema de Weyl [1] establece que si una función integrable localmente es una solución débil de la ecuación de Laplace, en el sentido de que
para cada función de prueba sin problemascon soporte compacto , luego (hasta la redefinición en un conjunto de medida cero ) es suave y satisface puntual en .
Este resultado implica la regularidad interior de funciones armónicas en , pero no dice nada sobre su regularidad en el límite .
Idea de la prueba
Para probar el lema de Weyl, convoluciona la funcióncon un suavizante apropiado y muestra que el apaciguamiento satisface la ecuación de Laplace, lo que implica que tiene la propiedad del valor medio. Tomando el límite como y usando las propiedades de los calmantes, uno encuentra que también tiene la propiedad del valor medio, lo que implica que es una solución uniforme de la ecuación de Laplace. [2] Las pruebas alternativas utilizan la suavidad de la solución fundamental del Laplaciano o estimaciones elípticas adecuadas a priori.
Generalización a distribuciones
De manera más general, el mismo resultado es válido para cada solución distributiva de la ecuación de Laplace: Si satisface para cada , luego es una distribución regular asociada a una solución fluida de la ecuación de Laplace. [3]
Conexión con hipoelipticidad
El lema de Weyl se deriva de resultados más generales relacionados con las propiedades de regularidad de los operadores elípticos o hipoelípticos. [4] Un operador diferencial parcial linealcon coeficientes suaves es hipoeliptico si el apoyo singular de es igual al soporte singular de para cada distribución . El operador de Laplace es hipoelíptico, por lo que si, luego el singular apoyo de está vacío ya que el soporte singular de está vacío, lo que significa que . De hecho, dado que el Laplaciano es elíptico, un resultado más fuerte es cierto, y las soluciones deson analíticos reales .
Notas
- ^ Hermann Weyl , El método de proyecciones ortogonales en teoría potencial, Duke Math. J. , 7, 411-444 (1940). Ver Lema 2, pág. 415
- ^ Bernard Dacorogna, Introducción al cálculo de variaciones, 2ª ed., Imperial College Press (2009), p. 148.
- ^ Lars Gårding , Algunos puntos de análisis y su historia , AMS (1997), p. 66.
- ^ Lars Hörmander , El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , 2a ed., Springer-Verlag (1990), p.110
Referencias
- Gilbarg, David; Neil S. Trudinger (1988). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Saltador. ISBN 3-540-41160-7.
- Stein, Elias (2005). Análisis real: teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-11386-6.