En matemáticas , especialmente en la teoría espectral , la ley de Weyl describe el comportamiento asintótico de los valores propios del operador de Laplace-Beltrami . Esta descripción fue descubierta en 1911 (en elcaso) de Hermann Weyl para los valores propios del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre funciones que desaparecen en el límite de un dominio acotado. En particular, demostró que el número,, de valores propios de Dirichlet (contando sus multiplicidades) menores o iguales a satisface
dónde es un volumen de la bola unitaria en. [1] En 1912 proporcionó una nueva prueba basada en métodos variacionales . [2] [3]
Generalizaciones
La ley de Weyl se ha extendido a dominios y operadores más generales. Para el operador de Schrödinger
se extendió a
como Tendiendo a o hasta un fondo del espectro esencial y / o .
Aquí es el número de valores propios de debajo a menos que haya un espectro esencial debajo en ese caso .
En el desarrollo de la asintótica espectral , los métodos variacionales y el análisis microlocal desempeñaron un papel crucial .
Contraejemplos
La ley de Weyl extendida falla en ciertas situaciones. En particular, la ley de Weyl extendida "afirma" que no existe un espectro esencial si y solo si la expresión de la derecha es finita para todos.
Si uno considera los dominios con cúspides (es decir, "reduciendo las salidas hasta el infinito"), entonces la ley de Weyl (extendida) afirma que no hay espectro esencial si y solo si el volumen es finito. Sin embargo, para el Dirichlet Laplaciano no existe un espectro esencial incluso si el volumen es infinito siempre que las cúspides se contraigan en el infinito (por lo que la finitud del volumen no es necesaria).
Por otro lado, para Neumann Laplacian hay un espectro esencial a menos que las cúspides se contraigan al infinito más rápido que el exponente negativo (por lo que la finitud del volumen no es suficiente).
Conjetura de Weyl
Weyl conjeturó que
donde el término restante es negativo para las condiciones de contorno de Dirichlet y positivo para Neumann. Muchos matemáticos mejoraron la estimación restante.
En 1922, Richard Courant demostró ser un límite de. En 1952, Boris Levitan demostró el límite más estricto depara colectores cerrados compactos. Robert Seeley extendió esto para incluir ciertos dominios euclidianos en 1978. [4] En 1975, Hans Duistermaat y Victor Guillemin demostraron el límite decuando el conjunto de bicaracterísticas periódicas tiene medida 0. [5] Esto fue finalmente generalizado por Victor Ivrii en 1980. [6] Esta generalización asume que el conjunto de trayectorias periódicas de un billar entiene medida 0, que Ivrii conjeturó que se cumple para todos los dominios euclidianos delimitados con límites suaves. Desde entonces, se han obtenido resultados similares para clases más amplias de operadores.
Referencias
- ^ Weyl, Hermann (1911). "Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte" . Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 110-117.
- ^ "Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen". Mathematische Annalen . 71 : 441–479. 1912.
- ^ Para obtener una prueba en inglés, consulte Strauss, Walter A. (2008). Ecuaciones diferenciales parciales . John Wiley e hijos. Ver capítulo 11.
- ^ Una estimación asintótica aguda de los valores propios del laplaciano en un dominio de. Advances in Mathematics , 102 (3): 244-264 (1978).
- ^ El espectro de operadores elípticos positivos y bicharacterísticas periódicas. Inventiones Mathematicae , 29 (1): 37–79 (1975).
- ^ Segundo término de la expansión asintótica espectral para el operador de Laplace-Beltrami en una variedad con límite. Análisis funcional y sus aplicaciones 14 (2): 98-106 (1980).