En geometría , una bola es una región en el espacio que comprende todos los puntos dentro de una distancia fija desde un punto dado; es decir, es la región encerrada por una esfera o hiperesfera . Una bola n es una bola en el espacio euclidiano n- dimensional . El volumen de una unidad n -ball es una expresión importante que aparece en las fórmulas a lo largo de las matemáticas; generaliza la noción de volumen encerrado por una esfera en un espacio tridimensional.
El volumen n- dimensional de una bola euclidiana de radio R en el espacio euclidiano n- dimensional es: [1]
donde Γ es Leonhard Euler 's función gamma . La función gamma extiende la función factorial a argumentos que no son enteros. ¡Satisface Γ ( n ) = ( n - 1)! si n es un número entero positivo y Γ ( n +1/2) = ( n - 1/2) · ( N - 3/2) ·… · 1/2· Π 1/2 si n es un número entero no negativo.
Formas alternativas
El uso de fórmulas explícitas para valores particulares de la función gamma en los enteros y medios enteros da fórmulas para el volumen de una bola euclidiana que no requieren una evaluación de la función gamma. En cambio, se pueden expresar en términos del factorial doble , que se define como 0 !! : = 1 y para n > 0 ,
donde el último factor, , es 2 si n es par y 1 si n es impar. Entonces, para un número entero impar 2 k + 1 , esto se convierte en
(2 k + 1) !! = 1 · 3 · 5 · ⋅⋅⋅ · (2 k - 1) · (2 k + 1) .
La fórmula para el volumen se puede expresar como:
que se puede combinar en una sola fórmula:
En lugar de expresar el volumen V de la pelota en términos de su radio R , la fórmula se puede invertir para expresar el radio en función del volumen:
Esta fórmula también se puede separar en casos de dimensiones pares e impares utilizando factoriales y factoriales dobles en lugar de la función gamma:
Recurrencias
El volumen satisface varias fórmulas recursivas. Estas fórmulas pueden probarse directamente o probarse como consecuencia de la fórmula general de volumen anterior. El más simple de enunciar es una fórmula para el volumen de una bola n en términos del volumen de una bola ( n - 2) del mismo radio:
También hay una fórmula para el volumen de una bola n en términos del volumen de una bola ( n - 1) del mismo radio:
El uso de fórmulas explícitas para la función gamma nuevamente muestra que la fórmula de recursión de una dimensión también se puede escribir como:
El radio de una bola n de volumen V puede expresarse recursivamente en términos del radio de una bola ( n - 1) o una bola ( n - 2) . Estas fórmulas pueden derivarse de la fórmula explícita para R n ( V ) anterior.
El uso de fórmulas explícitas para la función gamma muestra que la fórmula de recursividad de una dimensión es equivalente a
y que la fórmula de recursividad de dos dimensiones es equivalente a
Definición de una relación de recurrencia
dónde y uno puede expresar los volúmenes y superficies de -bolas como
es el último impar dónde .
Dimensiones reducidas
En dimensiones reducidas, estas fórmulas de volumen y radio se simplifican a lo siguiente.
Dimensión
Volumen de una bola de radio R
Radio de una bola de volumen V
0
(todas las bolas 0 tienen volumen 1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
norte
V n ( R )
R n ( V )
Altas dimensiones
Suponga que R es fijo. Entonces el volumen de una n- bola de radio R se aproxima a cero cuando n tiende a infinito. Esto se puede mostrar usando la fórmula de recursividad de dos dimensiones. En cada paso, el nuevo factor que se multiplica en el volumen es proporcional a 1 / n , donde la constante de proporcionalidad 2 π R 2 es independiente de n . Finalmente, n es tan grande que el nuevo factor es menor que 1. A partir de ese momento, el volumen de una bola n debe disminuir al menos geométricamente y, por lo tanto, tiende a cero. Una variante de esta demostración usa la fórmula de recursividad de una dimensión. Aquí, el nuevo factor es proporcional a un cociente de funciones gamma. La desigualdad de Gautschi limita este cociente anterior por n -1/2 . El argumento concluye como antes mostrando que los volúmenes disminuyen al menos geométricamente.
El error en esta aproximación es un factor de 1 + O ( n −1 ) . La aproximación de Stirling es de hecho una subestimación de la función gamma, por lo que la fórmula anterior es un límite superior. Esto proporciona otra prueba de que el volumen de la pelota disminuye exponencialmente: cuando n es lo suficientemente grande, el factor R √ 2 π e / n es menor que uno, y entonces se aplica el mismo argumento que antes.
Si, en cambio, V es fijo mientras n es grande, entonces por la aproximación de Stirling nuevamente, el radio de una n- bola de volumen V es aproximadamente
Esta expresión es un límite inferior para R n ( V ) y el error es nuevamente un factor de 1 + O ( n −1 ) . A medida que n aumenta, R n ( V ) crece a medida que
Relación con la superficie
Sea A n ( R ) el área de la superficie de la n -esfera de radio R en el espacio euclidiano ( n + 1) dimensional. El n -sphere es el límite de la ( n + 1) -ball de radio R . La bola ( n + 1) es una unión de esferas concéntricas y, en consecuencia, el área de la superficie y el volumen están relacionados por:
Combinando esto con la fórmula explícita para el volumen de una bola ( n + 1) se obtiene
La superficie también puede expresarse como:
Dado que el volumen es proporcional a la potencia del radio, la relación anterior conduce a una ecuación simple que relaciona el área de la superficie de una bola n y el volumen de una bola ( n + 1) . Al aplicar la fórmula de recursividad de dos dimensiones, también se obtiene una ecuación que relaciona el área de superficie de una bola n y el volumen de una bola ( n - 1) . Estas fórmulas, junto con el volumen y el área de superficie de bolas de dimensión cero, se pueden utilizar como un sistema de relaciones de recurrencia para los volúmenes y áreas de superficie de bolas:
Dimensión que maximiza el volumen de una bola de radio fijo
Suponga que R es un número real positivo fijo y considere el volumen V n ( R ) como una función de la dimensión entera positiva n . Dado que el volumen de una bola con radio positivo fijo tiende a cero cuando n → ∞ , el volumen máximo se alcanza para algún valor de n . La dimensión en la que esto ocurre depende del radio R .
Para encontrar el n para el que ocurre el máximo, interpole la funcióna todo real x > 0 definiendo
Cuando x no es un número entero positivo, esta función no tiene una interpretación geométrica obvia. Sin embargo, es suave, por lo que las técnicas de cálculo se pueden utilizar para encontrar máximos.
Los extremos de V ( x , R ) para R fijo pueden ocurrir solo en los puntos críticos o en los límites x → 0 + y x → ∞ . Debido a que el logaritmo aumenta monótonamente, los puntos críticos deson los mismos que los de su logaritmo. La derivada decon respecto ax es
Debido a que la función gamma es logarítmicamente convexa en el eje real positivo, la función digamma aumenta monótonamente allí, por lo que la ecuación anterior tiene como máximo una solución. Porque y , hay al menos una solución real positiva. Por lo tanto, la ecuación anterior tiene una solución única. Denotando la solución por x 0 , tenemos
La monotonicidad de la función digamma a lo largo del eje real positivo implica además que V ( x , R ) aumenta para todo x < x 0 y disminuye para todo x > x 0 . De ello se deduce que x 0 es el maximizador único de V ( x , R ) y que el maximizador de n ↦ V n ( R ) está contenido en el conjunto. Si x 0 es un número entero, entonces este conjunto tiene solo un elemento, y este elemento es el maximizador único tanto de V ( x , R ) como de V n ( R ) . De lo contrario, el conjunto tiene dos elementos y V n ( R ) asume su máximo único en uno de los dos elementos del conjunto, o V n ( R ) se maximiza en ambos elementos.
Se pueden obtener estimaciones más explícitas, aunque menos precisas, limitando la función digamma. Para y > 1 , la función digamma satisface: [2]
Por lo tanto, el máximo de V n ( R ) se logra para algún número entero n tal que
Para encontrar el máximo de V n ( R ) , basta con maximizarlo sobre todo n en este intervalo. Porque, este intervalo contiene como máximo tres números enteros y, a menudo, solo dos.
Por ejemplo, cuando R = 1 , estos límites implican que el volumen máximo se alcanza para algún n para el cual ⌊5.08⌋ ≤ n ≤ ⌈5.28⌉ , es decir, para n = 5 o n = 6 . Un examen de la tabla anterior muestra que se logra en el límite inferior, en la dimensión n = 5 . Cuando R = 1.1 , los límites son ⌊6.48⌋ ≤ n ≤ ⌈6.60⌉ , y el máximo se alcanza en el límite superior, es decir, cuando n = 7 . Finalmente, si, entonces los límites son ⌊5.90⌋ ≤ n ≤ ⌈6.02⌉ , por lo que el intervalo de n posibles contiene tres enteros, y el máximo de V n ( R ) y V ( x , R ) se logra en el entero x 0 = 6 .
Pruebas
Hay muchas pruebas de las fórmulas anteriores.
El volumen es proporcional a la n- ésima potencia del radio.
Un paso importante en varias demostraciones sobre los volúmenes de n bolas, y un hecho generalmente útil además, es que el volumen de la n bolas de radio R es proporcional a R n :
La constante de proporcionalidad es el volumen de la bola unitaria.
Este es un caso especial de un hecho general sobre los volúmenes en el espacio n -dimensional: si K es un cuerpo (conjunto medible) en ese espacio y RK es el cuerpo obtenido al estirar en todas direcciones por el factor R, entonces el volumen de RK es R n veces el volumen de K . Esta es una consecuencia directa de la fórmula de cambio de variables:
donde dx = dx 1 … dx ny se hizo la sustitución x = Ry .
Otra prueba de la relación anterior, que evita la integración multidimensional, utiliza la inducción: el caso base es n = 0 , donde la proporcionalidad es obvia. Para el caso inductivo, suponga que la proporcionalidad es verdadera en la dimensión n - 1 . Tenga en cuenta que la intersección de una bola n con un hiperplano es una bola ( n - 1) . Cuando el volumen de la n- bola se escribe como una integral de los volúmenes de ( n - 1) -bolas:
Es posible, mediante el supuesto inductivo, eliminar un factor de R del radio de la bola ( n - 1) para obtener:
Haciendo el cambio de variables t =X/R lleva a:
lo que demuestra la relación de proporcionalidad en la dimensión n . Por inducción, la relación de proporcionalidad es verdadera en todas las dimensiones.
La fórmula de recursividad de dos dimensiones
Se puede dar una prueba de la fórmula de recursividad que relaciona el volumen de la bola n y una bola ( n - 2) usando la fórmula de proporcionalidad anterior y la integración en coordenadas cilíndricas . Fija un plano a través del centro de la bola. Sea r la distancia entre un punto en el plano y el centro de la esfera, y sea θ el acimut. La intersección de la bola n con el plano ( n - 2) dimensional definido mediante la fijación de un radio y un acimut da una bola ( n - 2) de radio √ R 2 - r 2 . Por lo tanto, el volumen de la bola se puede escribir como una integral iterada de los volúmenes de las ( n - 2) bolas sobre los posibles radios y acimutes:
La coordenada azimutal se puede integrar inmediatamente. La aplicación de la relación de proporcionalidad muestra que el volumen es igual a:
La integral se puede evaluar haciendo la sustitución u = 1 - (r/R)2 Llegar:
que es la fórmula de recursividad de dos dimensiones.
La misma técnica se puede utilizar para dar una prueba inductiva de la fórmula de volumen. Los casos base de la inducción son la bola 0 y la bola 1, que se pueden verificar directamente usando los hechos Γ (1) = 1 y Γ ( 3/2) = 1/2 · Γ ( 1/2) = √ π/2. El paso inductivo es similar al anterior, pero en lugar de aplicar proporcionalidad a los volúmenes de las ( n - 2) bolas, se aplica el supuesto inductivo.
La fórmula de recursividad de una dimensión
La relación de proporcionalidad también se puede utilizar para probar la fórmula de recursividad que relaciona los volúmenes de una bola n y una bola ( n - 1) . Como en la prueba de la fórmula de proporcionalidad, el volumen de una n- bola se puede escribir como una integral sobre los volúmenes de ( n - 1) -bolas. Sin embargo, en lugar de hacer una sustitución, la relación de proporcionalidad se puede aplicar a los volúmenes de las ( n - 1) bolas en el integrando:
El integrando es una función par , por lo que, por simetría, el intervalo de integración se puede restringir a [0, R ] . En el intervalo [0, R ] , es posible aplicar la sustitución u = (X/R)2 . Esto transforma la expresión en:
La integral es un valor de una función especial conocida llamada función beta Β ( x , y ) , y el volumen en términos de la función beta es:
La función beta se puede expresar en términos de la función gamma de la misma manera que los factoriales se relacionan con los coeficientes binomiales . La aplicación de esta relación da:
Usando el valor Γ ( 1/2) = √ π da la fórmula de recursión de una dimensión:
Al igual que con la fórmula recursiva de dos dimensiones, se puede utilizar la misma técnica para dar una prueba inductiva de la fórmula de volumen.
Integración directa en coordenadas esféricas
El volumen de la n-ball se puede calcular integrando el elemento de volumen en coordenadas esféricas . El sistema de coordenadas esféricas tiene una coordenada radial r y coordenadas angulares φ 1 ,…, φ n - 1 , donde el dominio de cada φ excepto φ n - 1 es [0, π ) , y el dominio de φ n - 1 es [ 0, 2 π ) . El elemento de volumen esférico es:
y el volumen es la integral de esta cantidad sobre r entre 0 y R y todos los ángulos posibles:
Cada uno de los factores del integrando depende de una sola variable y, por lo tanto, la integral iterada se puede escribir como un producto de integrales:
La integral sobre el radio es R n/norte. Los intervalos de integración en las coordenadas angulares pueden, por simetría, cambiarse a [0, π/2] :
Cada una de las integrales restantes es ahora un valor particular de la función beta:
Las funciones beta se pueden reescribir en términos de funciones gamma:
Este producto telescopios. Combinando esto con los valores Γ ( 1/2) = √ \ π y Γ (1) = 1 y la ecuación funcional z Γ ( z ) = Γ ( z + 1) conduce a:
Integrales gaussianas
La fórmula del volumen se puede probar directamente usando integrales gaussianas . Considere la función:
Esta función es invariante rotacionalmente y un producto de funciones de una variable cada una. Usando el hecho de que es un producto y la fórmula de la integral gaussiana da:
donde dV es el elemento de volumen n- dimensional. Usando invariancia rotacional, la misma integral se puede calcular en coordenadas esféricas:
donde S n - 1 ( r ) es una ( n - 1) -esfera de radio r y dA es el elemento de área (de manera equivalente, el elemento de volumen ( n - 1) -dimensional). El área de la superficie de la esfera satisface una ecuación de proporcionalidad similar a la del volumen de una bola: Si A n - 1 ( r ) es el área de la superficie de una ( n - 1) -esfera de radio r , entonces:
Al aplicar esto a la integral anterior, se obtiene la expresión:
Sustituyendo t = r 2/2:
La integral de la derecha es la función gamma evaluada en norte/2.
La combinación de los dos resultados muestra que:
Para derivar el volumen de una bola n de radio R a partir de esta fórmula, integre el área de la superficie de una esfera de radio r para 0 ≤ r ≤ R y aplique la ecuación funcional z Γ ( z ) = Γ ( z + 1) :
Prueba geométrica
Las relaciones y y así los volúmenes de n- bolas y áreas de n- esferas también pueden derivarse geométricamente. Como se señaló anteriormente, debido a que una bola de radio se obtiene de una bola unitaria reescalando todas las direcciones en veces, es proporcional a , lo que implica . También,porque una bola es una unión de esferas concéntricas y aumentar el radio en ε corresponde a una capa de espesor ε . Por lo tanto,; equivalentemente,.
se deduce de la existencia de una biyección que conserva el volumen entre la esfera unitaria y :
(es una n- tupla;; estamos ignorando conjuntos de medida 0). El volumen se conserva porque en cada punto, la diferencia con la isometría es un estiramiento en el plano xy (en tiempos en la dirección de constante ) que coincide exactamente con la compresión en la dirección del gradiente de en (los ángulos relevantes son iguales). Para, Arquímedes formuló originalmente un argumento similar en Sobre la esfera y el cilindro .
Bolas en normas L p
También hay expresiones explícitas para los volúmenes de bolas en las normas L p . La norma L p del vector x = ( x 1 ,…, x n ) en R n es:
y una bola L p es el conjunto de todos los vectores cuya norma L p es menor o igual a un número fijo llamado radio de la bola. El caso p = 2 es la función de distancia euclidiana estándar, pero otros valores de p ocurren en diversos contextos, como la teoría de la información , la teoría de la codificación y la regularización dimensional .
El volumen de una bola L p de radio R es:
Estos volúmenes satisfacen una relación de recurrencia similar a la recurrencia de una dimensión para p = 2 :
Para p = 2 , se recupera la recurrencia del volumen de una bola euclidiana porque 2Γ ( 3/2) = √ π .
Por ejemplo, en los casos p = 1 ( norma taxi ) y p = ∞ ( norma máxima ), los volúmenes son:
Para la mayoría de los valores de p , el área de superficie,, de una esfera L p de radio R (el límite de una bola L p de radio R ) no se puede calcular diferenciando el volumen de una bola L p con respecto a su radio. Mientras que el volumen se puede expresar como una integral sobre las áreas superficiales usando la fórmula de coarea , la fórmula de coarea contiene un factor de corrección que explica cómo varía la p -norm de un punto a otro. Para p = 2 y p = ∞ , este factor es uno. Sin embargo, si p = 1, entonces el factor de corrección es √ n : el área de superficie de una esfera L 1 de radio R en R n es √ n veces la derivada del volumen de una bola L 1 . Esto se puede ver más simplemente aplicando el teorema de divergencia al campo vectorial F (x) = x para obtener
.
Para otros valores de p , la constante es una integral complicada.
Generalizaciones
La fórmula del volumen se puede generalizar aún más. Para números reales positivos p 1 ,…, p n , defina la unidad ( p 1 ,…, p n ) bola como:
El volumen de esta bola se conoce desde la época de Dirichlet: [3]
Ver también
n- esfera
Embalaje de esfera
Hamming obligado
Referencias
^ Ecuación 5.19.4, Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. http://dlmf.nist.gov/5.19#E4 , versión 1.0.6 de 2013-05-06.
^ N. Elezovic, C. Giordano y J. Pecaric, Los mejores límites en la desigualdad de Gautschi , Math. Desigual. Apl. 3 (2000), 239-252.
^ Dirichlet, PG Lejeune (1839). "Sur une nouvelle méthode pour la détermination des intégrales multiples" [Sobre un método novedoso para determinar múltiples integrales]. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 4 : 164-168.
enlaces externos
Derivación en coordenadas hipersféricas (en francés)
Hiperesfera en Wolfram MathWorld
Volumen de la hiperesfera en la referencia matemática