En la teoría cuántica de campos, un producto de los campos cuánticos, o de manera equivalente, sus operadores de creación y aniquilación , generalmente se dice que está en orden normal (también llamado orden de Wick ) cuando todos los operadores de creación están a la izquierda de todos los operadores de aniquilación en el producto. El proceso de poner un producto en orden normal se denomina pedido normal (también llamado pedido de Wick ). Los términos orden antinormal y orden antinormal se definen de forma análoga, donde los operadores de aniquilación se colocan a la izquierda de los operadores de creación.
El orden normal de los campos cuánticos de un producto o los operadores de creación y aniquilación también se pueden definir de muchas otras formas . La definición más apropiada depende de los valores esperados necesarios para un cálculo dado. La mayor parte de este artículo utiliza la definición más común de ordenación normal como se indica arriba, que es apropiada cuando se toman valores esperados usando el estado de vacío de los operadores de creación y aniquilación .
El proceso de ordenamiento normal es particularmente importante para un hamiltoniano mecánico cuántico . Al cuantificar un hamiltoniano clásico, existe cierta libertad al elegir el orden del operador, y estas elecciones conducen a diferencias en la energía del estado fundamental .
Notación
Si denota un producto arbitrario de operadores de creación y / o aniquilación (o equivalentemente, campos cuánticos), entonces la forma ordenada normal de se denota por .
Una notación alternativa es .
Tenga en cuenta que el pedido normal es un concepto que solo tiene sentido para los productos de los operadores. Intentar aplicar el orden normal a una suma de operadores no es útil ya que el orden normal no es una operación lineal.
Bosones
Los bosones son partículas que satisfacen las estadísticas de Bose-Einstein . Examinaremos ahora el orden normal de los productos del operador de creación y aniquilación bosónica.
Bosones individuales
Si partimos de un solo tipo de bosón hay dos operadores de interés:
- : operador de creación del bosón.
- : operador de aniquilación del bosón.
Estos satisfacen la relación del conmutador.
dónde denota el conmutador . Podemos reescribir el último como:
Ejemplos de
1. Primero consideraremos el caso más simple. Este es el orden normal de:
La expresion no se ha cambiado, ya que es ya en el orden normal - el operador de la creación ya está a la izquierda del operador de aniquilación .
2. Un ejemplo más interesante es el orden normal de :
Aquí, la operación de pedido normal ha reordenado los términos colocando a la izquierda de .
Estos dos resultados se pueden combinar con la relación de conmutación obedecida por y Llegar
o
Esta ecuación se utiliza para definir las contracciones utilizadas en el teorema de Wick .
3. Un ejemplo con varios operadores es:
4. Un ejemplo simple muestra que el orden normal no puede extenderse por la linealidad de los monomios a todos los operadores de una manera autoconsistente:
La implicación es que el orden normal no es una función lineal de los operadores.
Múltiples bosones
Si ahora consideramos diferentes bosones hay operadores:
- : la operador de creación de bosón.
- : la operador de aniquilación de bosón.
Aquí .
Estos satisfacen las relaciones de conmutación:
dónde y denota el delta de Kronecker .
Estos pueden reescribirse como:
Ejemplos de
1. Para dos bosones diferentes () tenemos
2. Para tres bosones diferentes () tenemos
Tenga en cuenta que desde (por las relaciones de conmutación) el orden en el que escribimos los operadores de aniquilación no importa.
Fermiones
Los fermiones son partículas que satisfacen las estadísticas de Fermi-Dirac . Examinaremos ahora el orden normal de los productos del operador de creación y aniquilación fermiónica.
Fermiones individuales
Para un solo fermión hay dos operadores de interés:
- : el operador de creación del fermión.
- : el operador de aniquilación del fermión.
Estos satisfacen las relaciones anticonmutador
dónde denota el anticonmutador . Estos pueden reescribirse como
Para definir el orden normal de un producto de operadores fermiónicos de creación y aniquilación debemos tener en cuenta el número de intercambios entre operadores vecinos. Obtenemos un signo menos para cada uno de esos intercambios.
Ejemplos de
1. Nuevamente comenzamos con los casos más simples:
Esta expresión ya está en orden normal, por lo que no se cambia nada. En el caso inverso, introducimos un signo menos porque tenemos que cambiar el orden de dos operadores:
Estos pueden combinarse, junto con las relaciones anticonmutación, para mostrar
o
Esta ecuación, que tiene la misma forma que el caso bosónico anterior, se utiliza para definir las contracciones utilizadas en el teorema de Wick .
2. El orden normal de los casos más complicados da cero porque habrá al menos un operador de creación o aniquilación que aparecerá dos veces. Por ejemplo:
Múltiples fermiones
Para diferentes fermiones hay operadores:
- : la operador de creación de fermion.
- : la operador de aniquilación del fermión.
Aquí .
Estos satisfacen las relaciones de conmutación:
dónde y denota el delta de Kronecker .
Estos pueden reescribirse como:
Al calcular el orden normal de los productos de los operadores de fermiones, debemos tener en cuenta el número de intercambios de operadores vecinos necesarios para reorganizar la expresión. Es como si pretendiéramos que los operadores de creación y aniquilación anticonmutación y luego reordenamos la expresión para asegurarnos de que los operadores de creación están a la izquierda y los operadores de aniquilación están a la derecha, todo el tiempo teniendo en cuenta las relaciones de anticonmutación.
Ejemplos de
1. Para dos fermiones diferentes () tenemos
Aquí la expresión ya está ordenada de forma normal, por lo que no cambia nada.
Aquí introducimos un signo menos porque hemos intercambiado el orden de dos operadores.
Tenga en cuenta que el orden en el que escribimos los operadores aquí, a diferencia del caso bosónico, sí importa .
2. Para tres fermiones diferentes () tenemos
Tenga en cuenta que desde (por las relaciones de anticonmutación) el orden en el que escribimos los operadores importa en este caso.
Similarmente tenemos
Usos en la teoría cuántica de campos
El valor de expectativa de vacío de un producto ordenado normal de operadores de creación y aniquilación es cero. Esto se debe a que, al denotar el estado de vacío por, los operadores de creación y aniquilación satisfacen
(aquí y son operadores de creación y aniquilación (bosónicos o fermiónicos)).
Dejar denotar un producto no vacío de operadores de creación y aniquilación. Aunque esto puede satisfacer
tenemos
Los operadores ordenados normales son particularmente útiles al definir un hamiltoniano mecánico cuántico . Si el hamiltoniano de una teoría está en orden normal, la energía del estado fundamental será cero:.
Campos libres
Con dos campos libres φ y χ,
dónde es de nuevo el estado de vacío. Cada uno de los dos términos en el lado derecho típicamente estalla en el límite cuando y se acerca a x, pero la diferencia entre ellos tiene un límite bien definido. Esto nos permite definir: φ (x) χ (x) :.
Teorema de Wick
El teorema de Wick establece la relación entre el producto ordenado en el tiempo decampos y una suma de productos pedidos normales. Esto puede expresarse por como llano
donde la suma abarca todas las distintas formas en las que se pueden emparejar campos. El resultado de impar se ve igual excepto por la última línea que dice
Este teorema proporciona un método simple para calcular los valores esperados de vacío de los productos de los operadores ordenados en el tiempo y fue la motivación detrás de la introducción del orden normal.
Definiciones alternativas
La definición más general de ordenamiento normal implica dividir todos los campos cuánticos en dos partes (por ejemplo, ver Evans y Steer 1996) . En un producto de campos, los campos se dividen en dos partes y el las partes se mueven para estar siempre a la izquierda de todos los partes. En el caso habitual considerado en el resto del artículo, la contiene solo operadores de creación, mientras que el contiene solo operadores de aniquilación. Como se trata de una identidad matemática, se pueden dividir los campos de la forma que se desee. Sin embargo, para que este sea un procedimiento útil, se exige que el producto ordenado normal de cualquier combinación de campos tenga un valor de expectativa cero.
También es importante para los cálculos prácticos que todos los conmutadores (anti-conmutador para campos fermiónicos) de todos y son todos números c. Estas dos propiedades significan que podemos aplicar el teorema de Wick de la manera habitual, convirtiendo los valores esperados de productos de campos ordenados en el tiempo en productos de pares de números c, las contracciones. En esta configuración generalizada, la contracción se define como la diferencia entre el producto ordenado por tiempo y el producto ordenado normal de un par de campos.
El ejemplo más simple se encuentra en el contexto de la teoría del campo cuántico térmico (Evans y Steer 1996). En este caso, los valores esperados de interés son conjuntos estadísticos, trazas sobre todos los estados ponderados por. Por ejemplo, para un solo oscilador armónico cuántico bosónico tenemos que el valor térmico esperado del operador numérico es simplemente la distribución de Bose-Einstein
Entonces aquí el operador numérico está ordenado normalmente en el sentido habitual utilizado en el resto del artículo, pero sus valores térmicos esperados son distintos de cero. Aplicar el teorema de Wick y hacer cálculos con el orden normal habitual en este contexto térmico es posible pero computacionalmente impráctico. La solución es definir un ordenamiento diferente, de modo que el y son combinaciones lineales de los operadores originales de aniquilación y creación. Las combinaciones se eligen para garantizar que los valores térmicos esperados de los productos pedidos normales sean siempre cero, por lo que la división elegida dependerá de la temperatura.
Referencias
- F. Mandl, G. Shaw, Teoría cuántica de campos, John Wiley & Sons, 1984.
- S. Weinberg, La teoría cuántica de los campos (Volumen I) Cambridge University Press (1995)
- TS Evans, DA Steer, teorema de Wick a temperatura finita , Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv: hep-ph / 9601268