El método de Wiener-Hopf es una técnica matemática ampliamente utilizada en matemáticas aplicadas . Fue desarrollado inicialmente por Norbert Wiener y Eberhard Hopf como un método para resolver sistemas de ecuaciones integrales , pero ha encontrado un uso más amplio en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales bidimensionales con condiciones de frontera mixtas en la misma frontera. En general, el método funciona explotando las propiedades analíticas complejas de las funciones transformadas. Normalmente, se usa la transformada de Fourier estándar , pero existen ejemplos que usan otras transformadas, como la transformada de Mellin .
En general, las ecuaciones que gobiernan y las condiciones de contorno se transforman y estas transformaciones se usan para definir un par de funciones complejas (típicamente denotadas con subíndices '+' y '-') que son respectivamente analíticas en las mitades superior e inferior del plano complejo. y tienen un crecimiento no más rápido que los polinomios en estas regiones. Estas dos funciones también coincidirán en alguna región del plano complejo , típicamente, una tira delgada que contiene la línea real . La continuación analítica garantiza que estas dos funciones definen una única función analítica en todo el plano complejo, y el teorema de Liouville implica que esta función es un polinomio desconocido , que a menudo es cero o constante. El análisis de las condiciones en los bordes y esquinas del límite permite determinar el grado de este polinomio.
Descomposición de Wiener-Hopf
El paso clave en muchos problemas de Wiener-Hopf es descomponer una función arbitraria en dos funciones con las propiedades deseadas descritas anteriormente. En general, esto se puede hacer escribiendo
y
donde los contornos y son paralelas a la línea real, pero pasan por encima y por debajo del punto , respectivamente.
De manera similar, las funciones escalares arbitrarias pueden descomponerse en un producto de funciones +/−, es decir , tomando primero el logaritmo y luego realizando una descomposición de suma. Las descomposiciones de productos de las funciones matriciales (que ocurren en sistemas multimodales acoplados, como las ondas elásticas) son considerablemente más problemáticas, ya que el logaritmo no está bien definido y se puede esperar que cualquier descomposición no sea conmutativa. Khrapkov obtuvo una pequeña subclase de descomposiciones conmutativas y también se han desarrollado varios métodos aproximados. [ cita requerida ]
Ejemplo
Considere la ecuación diferencial parcial lineal
dónde es un operador lineal que contiene derivados con respecto a x e y , sujeto a las condiciones mixtas en y = 0, para alguna función prescrita g ( x ) ,
y decaimiento en el infinito, es decir, f → 0 como.
Tomar una transformada de Fourier con respecto ax da como resultado la siguiente ecuación diferencial ordinaria
dónde es un operador lineal que contiene solo derivadas y , P ( k, y ) es una función conocida de y y k y
Si una solución particular de esta ecuación diferencial ordinaria que satisface la desintegración necesaria en el infinito se denota F ( k , y ) , una solución general se puede escribir como
donde C ( k ) es una función desconocida que se determinará mediante las condiciones de contorno en y = 0.
La idea clave es dividir en dos funciones separadas, y que son analíticos en las mitades inferior y superior del plano complejo, respectivamente,
Las condiciones de contorno dan entonces
y, al tomar derivados con respecto a ,
Eliminando rendimientos
dónde
Ahora se puede descomponer en el producto de funciones y que son analíticos en los semiplanos superior e inferior respectivamente.
Para ser preciso, dónde
(Tenga en cuenta que esto a veces implica escalar de modo que tiende a como .) También descomponemos en la suma de dos funciones y que son analíticos en los semiplanos inferior y superior respectivamente, es decir,
Esto se puede hacer de la misma manera que factorizamos Como consecuencia,
Ahora bien, como el lado izquierdo de la ecuación anterior es analítico en el semiplano inferior, mientras que el lado derecho es analítico en el semiplano superior, la continuación analítica garantiza la existencia de una función completa que coincide con la izquierda. o lados derechos en sus respectivos semiplanos. Además, dado que se puede demostrar que las funciones a ambos lados de la ecuación anterior decaen en k grande , una aplicación del teorema de Liouville muestra que toda esta función es idénticamente cero, por lo tanto
y entonces
Ver también
Referencias
- "Categoría: Wiener-Hopf - WikiWaves" . wikiwaves.org . Consultado el 19 de mayo de 2020 .
- "Método de Wiener-Hopf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Fornberg, Bengt. Variables complejas y funciones analíticas: una introducción ilustrada . Piret, Cécile. Filadelfia. ISBN 978-1-61197-597-0. OCLC 1124781689 .