En matemáticas , los problemas de Riemann-Hilbert , que llevan el nombre de Bernhard Riemann y David Hilbert , son una clase de problemas que surgen en el estudio de ecuaciones diferenciales en el plano complejo . Mark Kerin , Israel Gohberg y otros han elaborado varios teoremas de existencia para los problemas de Riemann-Hilbert (véase el libro de Clancey y Gohberg (1981)).
El problema de Riemann
Suponer que es un contorno simple cerrado en el plano complejo que divide el plano en dos partes denotadas por (el interior) y (el exterior), determinado por el índice del contorno con respecto a un punto. El problema clásico, considerado en la tesis doctoral de Riemann (ver Pandey (1996) ), era el de encontrar una función
analítico por dentro tal que los valores límite de M + a lo largo satisfacer la ecuación
para todos , Donde un , b , y c se dan funciones con valores reales-( Bitsadze 2001 ) .
Según el teorema de mapeo de Riemann , es suficiente considerar el caso cuandoes el círculo unitario ( Pandey 1996 , §2.2). En este caso, se puede buscar M + ( z ) junto con su reflejo de Schwarz :
En el círculo unitario Σ, uno tiene , y entonces
Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar un par de funciones M + ( z ) y M - ( z ) analíticas, respectivamente, en el interior y el exterior del disco unitario, de modo que en el círculo unitario
y, además, para que la condición en el infinito se mantenga:
El problema de Hilbert
La generalización de Hilbert fue considerar el problema de intentar encontrar M + y M - analítico, respectivamente, en el interior y exterior de la curva Σ, de modo que en uno tiene
donde α, β yc son funciones arbitrarias dadas con valores complejos (ya no son solo conjugados complejos).
Problemas de Riemann-Hilbert
En el problema de Riemann, así como en la generalización de Hilbert, el contorno fue simple. Un problema completo de Riemann-Hilbert permite que el contorno pueda estar compuesto por una unión de varias curvas suaves orientadas, sin intersecciones. Los lados + y - del "contorno" pueden entonces determinarse de acuerdo con el índice de un punto con respecto a. El problema de Riemann-Hilbert consiste en encontrar un par de funciones, M + y M - analíticas, respectivamente, en el lado + y - de, sujeto a la ecuación
para todo z ∈ Σ.
Generalización: problemas de factorización
Dado un "contorno" orientado Σ (técnicamente: una unión orientada de curvas suaves sin puntos de auto-intersección infinita en el plano complejo). Un problema de factorización de Birkhoff es el siguiente.
Dada una función matricial V definida en el contorno Σ, encontrar una función matricial holomórfica M definida en el complemento de Σ, de manera que se cumplan dos condiciones:
- Si M + y M - denotan los límites no tangenciales de M cuando nos acercamos a Σ, entonces M + = M - V, en todos los puntos de no intersección en Σ.
- Como z tiende al infinito a lo largo de cualquier dirección fuera de Σ, M tiende a la matriz identidad .
En el caso más simple, V es suave e integrable. En casos más complicados podría tener singularidades. Los límites M + y M - podrían ser clásicos y continuos o podrían tomarse en el sentido L 2 .
Aplicaciones a la teoría de la integrabilidad
Los problemas de Riemann-Hilbert tienen aplicaciones a varias clases de problemas relacionados.
- A. Modelos integrables
- El problema de dispersión inversa o espectral inverso asociado a los problemas de Cauchy para ecuaciones diferenciales parciales 1 + 1 dimensionales en la línea, o a problemas periódicos, o incluso a problemas de valor de frontera inicial ( Fokas (2002) ), se puede plantear como un Riemann –Problema de Hilbert. Asimismo, el problema de la monodromía inversa para las ecuaciones de Painlevé se puede plantear como un problema de Riemann-Hilbert.
- B. Polinomios ortogonales , matrices aleatorias
- Dado un peso en un contorno, los polinomios ortogonales correspondientes pueden calcularse mediante la solución de un problema de factorización de Riemann-Hilbert ( Fokas, Its y Kitaev (1992) ). Además, la distribución de valores propios de matrices aleatorias en varios conjuntos clásicos se reduce a cálculos que involucran polinomios ortogonales (ver, por ejemplo, Deift (1999) ).
- C. Probabilidad combinatoria
- El ejemplo más célebre es el teorema de Baik, Deift y Johansson (1999) sobre la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria. Junto con el estudio de B anterior, es una de las investigaciones rigurosas originales de la llamada "probabilidad integrable". Pero la conexión entre la teoría de la integrabilidad y varios conjuntos clásicos de matrices aleatorias se remonta al trabajo de Dyson (por ejemplo, Dyson (1976) ).
El análisis numérico de los problemas de Riemann-Hilbert puede proporcionar una forma eficaz de resolver numéricamente PDE integrables , ver p. Ej. Trogdon y Olver (2016).
Utilizar para soluciones asintóticas
En particular, los problemas de factorización de Riemann-Hilbert se utilizan para extraer valores asintóticos para los tres problemas anteriores (por ejemplo, cuando el tiempo llega al infinito, o cuando el coeficiente de dispersión llega a cero, o cuando el grado del polinomio llega al infinito, o cuando el tamaño de la permutación va al infinito). Existe un método para extraer el comportamiento asintótico de las soluciones de los problemas de Riemann-Hilbert, análogo al método de fase estacionaria y al método de descenso más pronunciado aplicable a integrales exponenciales.
Por analogía con los métodos asintóticos clásicos, uno "deforma" los problemas de Riemann-Hilbert que no se pueden resolver explícitamente a problemas que sí lo son. El llamado método "no lineal" de fase estacionaria se debe a Deift y Zhou (1993) , ampliando una idea anterior de Its (1982) y Manakov (1979) . Un ingrediente crucial del análisis de Deift-Zhou es el análisis asintótico de integrales singulares en contornos.
Una extensión esencial del método no lineal de fase estacionaria ha sido la introducción de la llamada transformación de función g de brecha finita por Deift, Venakides y Zhou (1997) , que ha sido crucial en la mayoría de las aplicaciones. Esto se inspiró en el trabajo de Lax, Levermore y Venakides, quienes redujeron el análisis del pequeño límite de dispersión de la ecuación KdV al análisis de un problema de maximización para un potencial logarítmico bajo algún campo externo: un problema variacional de tipo "electrostático". La función g es la transformada logarítmica de la medida maximizadora del "equilibrio". El análisis del límite de dispersión pequeño de la ecuación KdV ha proporcionado la base para el análisis de la mayor parte del trabajo sobre polinomios ortogonales "reales" (es decir, con la condición de ortogonalidad definida en la línea real) y matrices aleatorias hermitianas.
Quizás la extensión más sofisticada de la teoría hasta ahora es la aplicada al caso "no autoadjunto", es decir, cuando el operador Lax subyacente (el primer componente del par Lax ) no es autoadjunto , por Kamvissis, McLaughlin y Miller (2003) . En ese caso, se definen y calculan los "contornos de descenso más empinados" reales. El problema variacional correspondiente es un problema máximo-mínimo: se busca un contorno que minimice la medida de "equilibrio". El estudio del problema variacional y la prueba de existencia de una solución regular, bajo algunas condiciones en el campo externo, se realizó en Kamvissis & Rakhmanov (2005) ; el contorno que surge es una "curva en S", tal como la definieron y estudiaron en la década de 1980 Herbert R. Stahl, Andrei A. Gonchar y Evguenii A Rakhmanov.
McLaughlin y Miller (2006) proporcionan un análisis asintótico alternativo de los problemas de factorización de Riemann-Hilbert , especialmente conveniente cuando las matrices de salto no tienen extensiones analíticas. Su método se basa en el análisis de problemas de barra d, en lugar del análisis asintótico de integrales singulares en contornos. Varzugin (1996) introdujo una forma alternativa de tratar las matrices de salto sin extensiones analíticas .
Otra extensión de la teoría aparece en Kamvissis y Teschl (2012) donde el espacio subyacente del problema de Riemann-Hilbert es una superficie compacta hiperelíptica de Riemann. El problema de factorización correcto no es más holomórfico, sino meromórfico , debido al teorema de Riemann-Roch . La teoría de la deformación del problema de Riemann-Hilbert se aplica al problema de la estabilidad de la red de Toda periódica infinita bajo una perturbación de "corto alcance" (por ejemplo, una perturbación de un número finito de partículas).
La mayoría de los problemas de factorización de Riemann-Hilbert estudiados en la literatura son bidimensionales, es decir, las matrices desconocidas son de dimensión 2. Arno Kuijlaars y colaboradores han estudiado problemas de dimensiones superiores , ver eg Kuijlaars & López (2015) .
Ejemplo: problema de factorización escalar de Riemann-Hilbert
Suponga que V = 2 y Σ es un contorno de z = −1 a z = 1. ¿Cuál es la solución de M ?
Para resolver esto, tomemos el logaritmo de la ecuación.
Dado que M tiende a 1, log M → 0 cuando z → ∞.
Un hecho estándar sobre la transformada de Cauchy es que dónde son los límites de la transformada de Cauchy desde arriba y desde abajo Σ; por lo tanto, obtenemos
Debido a que la solución M de un problema de factorización de Riemann-Hilbert es única (una fácil aplicación del teorema de Liouville (análisis complejo) ), el teorema de Sokhotski-Plemelj da la solución. Obtenemos
es decir
que tiene una rama cortada en el contorno .
Cheque:
por lo tanto,
ATENCIÓN: Si el problema no es escalar, no se pueden tomar logaritmos. En general, las soluciones explícitas son muy raras.
Referencias
- Baik, J .; Deift, P .; Johansson, K. (1999), "Sobre la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de permutaciones aleatorias" , Journal of the American Mathematical Society , 12 (4): 1119-1178, doi : 10.1090 / S0894-0347-99 -00307-0.
- Bitsadze, AV (2001) [1994], "Problemas de valor límite de la teoría de funciones analíticas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Clancey, K .; Gohberg, I. (1981), Factorización de funciones matriciales y operadores integrales singulares , Oper. Teoría: Avances y aplicaciones, 3 , Basilea-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag.
- Deift, Percy A. (2000), polinomios ortogonales y matrices aleatorias , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2695-9.
- Deift, Percy; Venakides, S .; Zhou, X. (1997), Nuevos resultados en KdV de pequeña dispersión por una extensión del método de descenso más pronunciado para problemas de Riemann-Hilbert , Avisos internacionales de investigación matemática, págs. 286–299.
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- Trogdon, Thomas; Olver, Sheehan (2016), Problemas de Riemann-Hilbert, su solución numérica y el cálculo de funciones especiales no lineales , SIAM.
enlaces externos
- Gakhov, FD (2001) [1994], "Problema de Riemann-Hilbert" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press