La teoría de Wiman-Valiron es una teoría matemática inventada por Anders Wiman como una herramienta para estudiar el comportamiento de funciones completas arbitrarias . Después del trabajo de Wiman, la teoría fue desarrollada por otros matemáticos y se extendió a clases más generales de funciones analíticas. El resultado principal de la teoría es una fórmula asintótica para la función y sus derivadas cerca del punto donde se alcanza el módulo máximo de esta función.
Término máximo e índice central
Por definición, una función completa se puede representar mediante una serie de potencias que es convergente para todos los complejos :
Los términos de esta serie tienden a 0 cuando , entonces para cada hay un término de módulo máximo. Este término depende de. Su módulo se denomina término máximo de la serie:
Aquí es el exponente para el que se alcanza el máximo; si hay varios términos máximos, definimoscomo el mayor exponente de ellos. Este número depende de , se denota por y se llama índice central .
Dejar
ser el módulo máximo de la función . La desigualdad de Cauchy implica que para todos . La estimación inversafue probado por primera vez por Borel , y una estimación más precisa debido a Wiman dice [1]
en el sentido de que para cada existen valores arbitrariamente grandes de para lo cual se cumple esta desigualdad. De hecho, Valiron demostró que la relación anterior es válida para "la mayoría" de los valores de: el conjunto excepcional para lo que no se cumple tiene una medida logarítmica finita:
Las mejoras de esta desigualdad fueron objeto de mucha investigación en el siglo XX. [2]
La principal fórmula asintótica.
El siguiente resultado de Wiman [3] es fundamental para varias aplicaciones: let ser el punto para el cual el máximo en la definición de se alcanza; por el Principio Máximo tenemos. Resulta que se comporta cerca del punto como un monomio: hay valores arbitrariamente grandes de tal que la formula
sostiene en el disco
Aquí es un número positivo arbitrario, y la o (1) se refiere a , dónde es el conjunto excepcional descrito anteriormente. Este disco se suele llamar disco de Wiman-Valiron .
Aplicaciones
La fórmula para por cerca se puede diferenciar por lo que tenemos una relación asintótica
Esto es útil para estudios de soluciones completas de ecuaciones diferenciales.
Otra aplicación importante se debe a Valiron [4] quien notó que la imagen del disco de Wiman-Valiron contiene un anillo "grande" ( donde ambos y son arbitrariamente grandes). Esto implica el importante teorema de Valiron de que hay discos arbitrariamente grandes en el plano en los que se pueden definir las ramas inversas de una función completa. Una versión cuantitativa de esta afirmación se conoce como teorema de Bloch .
Este teorema de Valiron tiene más aplicaciones en la dinámica holomórfica: se usa en la prueba del hecho de que el conjunto de escape de una función completa no está vacío.
Desarrollo posterior
En 1938, Macintyre [5] descubrió que uno puede deshacerse del índice central y de la propia serie de potencias en esta teoría. Macintyre reemplazó el índice central por la cantidad
y demostró la relación principal en la forma
Esta declaración no menciona la serie de potencias, sino el supuesto de que Todo fue utilizado por Macintyre.
La generalización final fue lograda por Bergweiler, Rippon y Stallard [6] quienes demostraron que esta relación persiste para cada función analítica ilimitada. definido en una región ilimitada arbitraria en el plano complejo, bajo el único supuesto de que está limitado por . La afirmación clave que hace posible esta generalización es que el disco de Wiman-Valiron está contenido en realidad en para todos los no excepcionales .
Referencias
- ^ Wiman, A. (1914). "Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem grössten Gliede der zugehörigen taylor'schen Reihe". Acta Mathematica . 37 : 305–326 (alemán).
- ^ Hayman, W. (1974). "El crecimiento local de la serie de energía: una encuesta del método Wiman-Valiron". Boletín matemático canadiense . 17 (3): 317–358.
- ^ Wiman, A. (1916). "Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem grössten Betrage bei gegebenem Argumente der Funktion". Acta Mathematica . 41 : 1–28 (alemán).
- ^ Valiron, G. (1949). Conferencias sobre teoría general de funciones integrales . NY: Chelsea, reimpresión de la edición de 1923.
- ^ Macintyre, A. (1938). "El método de Wiman y las" regiones planas "de funciones integrales". Trimestral J. Math. : 81–88.
- ^ Bergweiler, W .; Rippon, Ph .; Stallard, G. (2008). "Dinámica de funciones meromorfas con singularidades directas o logarítmicas". Proc. London Math. Soc . 97 : 368–400.