En matemáticas, y en dinámicas particularmente complejas , el conjunto de escape de una función completa f consta de todos los puntos que tienden al infinito bajo la aplicación repetida de f. [1] Es decir, un número complejo pertenece al conjunto de escape si y solo si la secuencia definida por converge al infinito como se hace grande. El conjunto de escape de se denota por . [1]
Por ejemplo, para , el origen pertenece al conjunto de escape, ya que la secuencia
tiende al infinito.
Historia
La iteración de funciones completas trascendentales fue estudiada por primera vez por Pierre Fatou en 1926 [2] El conjunto de escape ocurre implícitamente en su estudio de las funciones completas explícitas y .
¿Puede el conjunto de escape de una función completa trascendental tener un componente acotado?
El primer estudio del conjunto de escape para una función completa trascendental general se debe a Alexandre Eremenko, quien utilizó la teoría de Wiman-Valiron . [3] Conjeturó que cada componente conectado del conjunto de escape de una función trascendental completa es ilimitado. Esto se ha conocido como la conjetura de Eremenko . [1] [4] Hay muchos resultados parciales sobre este problema, pero a partir de 2013 la conjetura sigue abierta.
Eremenko también preguntó si cada punto de escape se puede conectar al infinito mediante una curva en el conjunto de escape; Más tarde se demostró que este no es el caso. De hecho, existen funciones completas cuyos conjuntos de escape no contienen ninguna curva en absoluto. [4]
Propiedades
Se sabe que las siguientes propiedades son válidas para el conjunto de escape de cualquier función completa no constante y no lineal. (Aquí no lineal significa que la función no tiene la forma.)
- El conjunto de escape contiene al menos un punto. [a]
- El límite del conjunto de escape es exactamente el conjunto de Julia . [b] En particular, el conjunto de escape nunca se cierra .
- Para una función completa trascendental, el conjunto de escape siempre se cruza con el conjunto de Julia. [c] En particular, el conjunto de escape está abierto si y solo si es un polinomio.
- Cada componente conectado del cierre del equipo de escape es ilimitado. [D]
- El conjunto de escape siempre tiene al menos un componente conectado ilimitado. [1]
- El conjunto de escape está conectado o tiene un número infinito de componentes. [5]
- El conjunto está conectado. [5]
Tenga en cuenta que la declaración final no implica la conjetura de Eremenko. (De hecho, existen espacios conectados en los que la eliminación de un solo punto de dispersión deja el espacio restante totalmente desconectado).
Ejemplos de
Polinomios
Un polinomio de grado 2 se extiende a un automapa analítico de la esfera de Riemann , que tiene un punto fijo súper atrayente en el infinito. El conjunto que escapa es precisamente la cuenca de atracción de este punto fijo y, por lo tanto, suele denominarse ** cuenca del infinito **. En este caso,es un subconjunto abierto y conectado del plano complejo, y el conjunto de Julia es el límite de esta cuenca.
Por ejemplo, el conjunto de escape del polinomio cuadrático complejo consiste precisamente en el complemento del disco unitario cerrado:
Funciones completas trascendentales
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Exp-esc.png/220px-Exp-esc.png)
Para funciones enteras trascendentales , el conjunto de escape es mucho más complicado que para los polinomios: en los casos más simples, como el ilustrado en la imagen, consta de innumerables curvas, llamadas pelos o rayos . En otros ejemplos, la estructura del conjunto de escape puede ser muy diferente (una telaraña ). [6] Como se mencionó anteriormente, hay ejemplos de funciones completas trascendentales cuyo conjunto de escape no contiene curvas. [4]
Por definición, el conjunto de escape es un conjunto Fσδ ; es decir, una intersección contable de conjuntos Fσ . No es Gδ ni Fσ . [7]
Ver también
Notas
Referencias
- ^ a b c d Rippon, PJ; Stallard, G (2005). "Sobre cuestiones de Fatou y Eremenko" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 133 (4): 1119–1126. doi : 10.1090 / s0002-9939-04-07805-0 .
- ^ Fatou, P. (1926). "Sur l'itération des fonctions trascendantes Entières" . Acta Math . 47 (4): 337–370. doi : 10.1007 / bf02559517 .
- ^ a b c d e Eremenko, A (1989). "Sobre la iteración de funciones completas" (PDF) . Publicaciones del Centro Banach, Warsawa, PWN . 23 : 339–345.
- ^ a b c Rottenfußer, G; Rückert, J; Rempe, L ; Schleicher, D (2011). "Rayos dinámicos de funciones enteras de tipo acotado". Ana. de Matemáticas . 173 : 77-125. arXiv : 0704.3213 . doi : 10.4007 / annals.2010.173.1.3 .
- ^ a b Rippon, PJ; Stallard, G (2011). "Límites de los componentes de escape de Fatou". Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 139 (8): 2807–2820. arXiv : 1009,4450 . doi : 10.1090 / s0002-9939-2011-10842-6 .
- ^ Sixsmith, DJ (2012). "Funciones completas para las que el conjunto de escape es una telaraña". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 151 (3): 551–571. arXiv : 1012.1303 . Código Bib : 2011MPCPS.151..551S . doi : 10.1017 / S0305004111000582 .
- ^ Rempe, Lasse (2020). "Los conjuntos de escape no son sigma-compact". arXiv : 2006.16946 [ math.DS ].
enlaces externos
- Lasse Rempe . "Un poema sobre la conjetura de Eremenko" .