En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , una presentación de Wirtinger es una presentación finita donde las relaciones son de la forma dónde es una palabra en los generadores, Wilhelm Wirtinger observó que los complementos de nudos en 3 espacios tienen grupos fundamentales con presentaciones de esta forma.
Preliminares y definición
Un nudo K es una incrustación de una esfera S 1 en el espacio tridimensional R 3 . (Alternativamente, el espacio ambiental también puede tomarse como el S 3 de tres esferas , lo que no hace una diferencia para los propósitos de la presentación de Wirtinger). El subespacio abierto que es el complemento del nudo,es el complemento del nudo. Su grupo fundamental es una invariante del nudo en el sentido de que los nudos equivalentes tienen grupos de nudos isomorfos . Por tanto, es interesante comprender a este grupo de forma accesible.
Una presentación de Wirtinger se deriva de una proyección regular de un nudo orientado . Tal proyección se puede representar como un número finito de arcos (orientados) en el plano, separados por los cruces de la proyección. El grupo fundamental se genera mediante bucles que se enrollan alrededor de cada arco. Cada cruce da lugar a una cierta relación entre los generadores correspondientes a los arcos que se encuentran en el cruce.
Presentaciones de Wirtinger de nudos de alta dimensión
De manera más general, se sabe que los dos nudos co-dimensionados en esferas tienen presentaciones de Wirtinger. Michel Kervaire demostró que un grupo abstracto es el grupo fundamental de un nudo exterior (en una esfera quizás de alta dimensión) si y solo si se satisfacen todas las siguientes condiciones:
- La abelianización del grupo son los números enteros.
- La segunda homología del grupo es trivial.
- El grupo se presenta de forma finita .
- El grupo es el cierre normal de un solo generador.
Las condiciones (3) y (4) son esencialmente la condición de presentación de Wirtinger, reformulada. Kervaire demostró en dimensiones 5 y mayores que las condiciones anteriores son necesarias y suficientes. Caracterizar los grupos de nudos en la dimensión cuatro es un problema abierto.
Ejemplos de
Para el nudo de trébol , se puede demostrar que una presentación de Wirtinger es
Ver también
Otras lecturas
- Rolfsen, Dale (1990), Nudos y enlaces , Serie de conferencias de matemáticas, 7 , Houston, TX: Publicar o perecer, ISBN 978-0-914098-16-4, sección 3D
- Kawauchi, Akio (1996), Un estudio de la teoría del nudo , Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-3-0348-9227-8 , ISBN 978-3-0348-9953-6
- Hillman, Jonathan (2012), Invariantes algebraicos de enlaces , Serie sobre nudos y todo, 52 , World Scientific, doi : 10.1142 / 9789814407397 , ISBN 9789814407397
- Livingston, Charles (1993), Teoría del nudo , Asociación Matemática de América