Trivialidad (matemáticas)

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En matemáticas , el adjetivo trivial se usa a menudo para referirse a una afirmación o un caso que se puede obtener fácilmente del contexto, o un objeto que posee una estructura simple (por ejemplo, grupos , espacios topológicos ). ^{[1] [2] [3]} El sustantivo trivialidad generalmente se refiere a un simple aspecto técnico de alguna prueba o definición. El origen del término en el lenguaje matemático proviene del currículo trivium medieval , que se distingue del currículo quadrivium más difícil . ^{[2] [4]} Lo opuesto a trivial es no trivial, que se usa comúnmente para indicar que un ejemplo o una solución no es simple, o que un enunciado o un teorema no es fácil de probar. ^{[1] [3]}

Soluciones triviales y no triviales

En matemáticas, el término "trivial" se usa a menudo para referirse a objetos (por ejemplo, grupos, espacios topológicos) con una estructura muy simple. Estos incluyen, entre otros

• Conjunto vacío : el conjunto que contiene miembros nulos o ninguno
• Grupo trivial : el grupo matemático que contiene solo el elemento de identidad.
• Anillo trivial : un anillo definido en un conjunto singleton

" Trivial " también se puede utilizar para describir soluciones a una ecuación que tienen una estructura muy simple, pero en aras de la integridad no se puede omitir. Estas soluciones se denominan soluciones triviales . Por ejemplo, considere la ecuación diferencial

${\displaystyle y'=y}$

donde es una función cuya derivada es . La solución trivial es${\displaystyle y=y(x)}$${\displaystyle y'}$

${\displaystyle y(x)=0}$, la función cero

mientras que una solución no trivial es

${\displaystyle y(x)=e^{x}}$, la función exponencial .

La ecuación diferencial con condiciones de contorno es importante en matemáticas y física, ya que podría usarse para describir una partícula en una caja en mecánica cuántica, o una onda estacionaria en una cuerda. Siempre incluye la solución , que se considera obvia y, por lo tanto, se denomina solución "trivial". En algunos casos, puede haber otras soluciones ( sinusoides ), que se denominan soluciones "no triviales". ^[5]${\displaystyle f''(x)=-\lambda f(x)}$${\displaystyle f(0)=f(L)=0}$${\displaystyle f(x)=0}$

De manera similar, los matemáticos a menudo describen el último teorema de Fermat afirmando que no hay soluciones enteras no triviales para la ecuación , donde n es mayor que 2. Claramente, hay algunas soluciones para la ecuación. Por ejemplo, es una solución para cualquier n , pero tales soluciones son obvias y se pueden obtener con poco esfuerzo y, por lo tanto, son "triviales".${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle a=b=c=0}$

En razonamiento matemático

Trivial también puede referirse a cualquier caso fácil de una prueba, que en aras de la integridad no se puede ignorar. Por ejemplo, las demostraciones por inducción matemática tienen dos partes: el "caso base" que muestra que el teorema es verdadero para un valor inicial particular (como n = 0 o n = 1), y el paso inductivo que muestra que si el teorema es cierto para un cierto valor de n , entonces también es cierto para el valor n+ 1. El caso base es a menudo trivial y se identifica como tal, aunque hay situaciones en las que el caso base es difícil pero el paso inductivo es trivial. De manera similar, se podría querer probar que todos los miembros de un conjunto determinado poseen alguna propiedad. La parte principal de la prueba considerará el caso de un conjunto no vacío y examinará los miembros en detalle; en el caso de que el conjunto esté vacío, la propiedad es trivialmente poseída por todos los miembros, ya que no hay ninguno (ver la verdad vacía para más información).

Una broma común en la comunidad matemática es decir que "trivial" es sinónimo de "probado", es decir, cualquier teorema puede considerarse "trivial" una vez que se sabe que es cierto. ^[2]

Otro chiste se refiere a dos matemáticos que están discutiendo un teorema: el primer matemático dice que el teorema es "trivial". En respuesta a la solicitud de explicación del otro, procede con veinte minutos de exposición. Al final de la explicación, el segundo matemático está de acuerdo en que el teorema es trivial. Estos chistes señalan la subjetividad de los juicios sobre la trivialidad. La broma también se aplica cuando el primer matemático dice que el teorema es trivial, pero no puede probarlo por sí mismo. A menudo, a modo de broma, se hace referencia al teorema como "intuitivamente obvio". Alguien con experiencia en cálculo , por ejemplo, consideraría trivial la siguiente afirmación:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}}$

Sin embargo, para alguien sin conocimientos de cálculo integral, esto no es nada obvio.

La trivialidad también depende del contexto. Una prueba en análisis funcional probablemente, dado un número, supondría trivialmente la existencia de un número mayor. Sin embargo, al probar los resultados básicos sobre los números naturales en la teoría de números elementales , la prueba puede muy bien depender de la observación de que cualquier número natural tiene un sucesor, un enunciado que debe probarse o tomarse como un axioma (para más información, véase Axiomas de Peano ).

Pruebas triviales

En algunos textos, una prueba trivial se refiere a un enunciado que implica una implicación material P → Q, donde el consecuente , Q , es siempre verdadero. ^[6] Aquí, la prueba sigue inmediatamente en virtud de la definición de la implicación material, como la implicación es cierto independientemente del valor de verdad de la antecedente P . ^[6]

Un concepto relacionado es una verdad vacía , donde el antecedente P en la implicación material P → Q es siempre falso. ^[6] Aquí, la implicación es siempre verdadera independientemente del valor de verdad de la Q consecuente, de nuevo en virtud de la definición de implicación material. ^[6]

Ejemplos

• En la teoría de números , a menudo es importante encontrar factores de un número entero N . Cualquier número N tiene cuatro factores obvios: ± 1 y ± N . Estos se denominan "factores triviales". Cualquier otro factor, si existe, se llamaría "no trivial". ^[7]
• La ecuación de matriz homogénea , donde es una matriz fija, es un vector desconocido y es el vector cero, tiene una solución obvia . A esto se le llama la "solución trivial". Si tiene otras soluciones , entonces se llamarían "no triviales" ^[8]${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$
• En la teoría de grupos , hay un grupo muy simple con un solo elemento; esto a menudo se llama el "grupo trivial". Todos los demás grupos, que son más complicados, se denominan "no triviales".
• En teoría de grafos , el grafo trivial es un grafo que tiene solo 1 vértice y no tiene arista.
• La teoría de la base de datos tiene un concepto escrito de dependencia funcional . La dependencia es verdadera si Y es un subconjunto de X , por lo que este tipo de dependencia se denomina "trivial". Todas las demás dependencias, que son menos obvias, se denominan "no triviales".${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X\to Y}$
• Se puede demostrar que la función zeta de Riemann tiene ceros en los números pares negativos -2, -4, ... Aunque la demostración es comparativamente fácil, este resultado normalmente no se llamaría trivial; sin embargo, lo es en este caso, ya que sus otros ceros son generalmente desconocidos y tienen aplicaciones importantes e involucran preguntas abiertas (como la hipótesis de Riemann ). En consecuencia, los números pares negativos se denominan ceros triviales de la función, mientras que los demás ceros se consideran no triviales.

Ver también

• Degeneración
• Objetos iniciales y terminales
• Lista de jerga matemática
• Patológico
• Trivialismo
• Medida trivial
• Representación trivial
• Topología trivial

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Trivial" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Trivial" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
3. "Palabras matemáticas: trivial" . www.mathwords.com . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
4. Ayto, John (1990). Diccionario de orígenes de palabras . Prensa de la Universidad de Texas. pag. 542. ISBN 1-55970-214-1. OCLC  33022699 .
5. Zachmanoglou, EC; Thoe, Dale W. (1986). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales con aplicaciones . pag. 309. ISBN 9780486652511.
6. Chartrand, Gary ; Polimeni, Albert D .; Zhang, Ping (2008). Pruebas matemáticas: una transición a matemáticas avanzadas (2ª ed.). Boston: Pearson / Addison Wesley. pag. 68 . ISBN 978-0-3-2139053-0.
7. Yan, Song Y. (2002). Teoría de números para la computación (2ª edición ilustrada). Berlín: Springer. pag. 250. ISBN 3-540-43072-5.
8. Jeffrey, Alan (2004). Matemáticas para ingenieros y científicos (Sexta ed.). Prensa CRC. pag. 502. ISBN 1-58488-488-6.

Enlaces externos

Busque trivial en Wiktionary, el diccionario libre.

• Entrada trivial en MathWorld