- El "teorema de Witt" o "el teorema de Witt" también pueden referirse al teorema de la teoría del orden del punto fijo de Bourbaki-Witt .
En matemáticas, el teorema de Witt , llamado así por Ernst Witt , es un resultado básico en la teoría algebraica de formas cuadráticas : cualquier isometría entre dos subespacios de un espacio cuadrático no singular sobre un campo k puede extenderse a una isometría de todo el espacio. Una declaración análoga es válida también para formas bilineales sesgadas simétricas, hermitianas y sesgadas-hermitianas sobre campos arbitrarios. El teorema se aplica a la clasificación de formas cuadráticas sobre k y, en particular, permite definir el grupo de Witt W ( k) que describe la teoría "estable" de formas cuadráticas sobre el campo k .
Declaración
Sea ( V , b ) un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k de característica diferente de 2 junto con una forma bilineal simétrica o sesgada simétrica no degenerada . Si f : T → U ' es una isometría entre dos subespacios de V a continuación, f se extiende a una isometría de V .
El teorema de Witt implica que la dimensión de un subespacio máximo totalmente isotrópico (espacio nulo) de V es una invariante, llamada índice oÍndice de Witt deb, [1] y además, que elgrupodeisometríade( V , b ) actúatransitivamente sobre el conjunto de subespacios isotrópicos máximos. Este hecho juega un papel importante en la teoría de la estructura y lateoríade larepresentacióndel grupo de isometría y en la teoría delos pares duales reductivos.
Teorema de cancelación de Witt
Sean ( V , q ) , ( V 1 , q 1 ) , ( V 2 , q 2 ) tres espacios cuadráticos sobre un campo k . Asumir que
Entonces los espacios cuadráticos ( V 1 , q 1 ) y ( V 2 , q 2 ) son isométricos:
En otras palabras, el sumando directo ( V , q ) que aparece en ambos lados de un isomorfismo entre espacios cuadráticos puede "cancelarse".
Teorema de descomposición de Witt
Sea ( V , q ) un espacio cuadrático sobre un campo k . Entonces admite una descomposición de Witt :
donde V 0 = ker q es el radical de q , ( V a , q a ) es un espacio cuadrático anisotrópico y ( V h , q h ) es un espacio cuadrático dividido . Además, el sumando anisotrópico, denominado forma del núcleo , y el sumando hiperbólico en una descomposición de Witt de ( V , q ) se determinan de forma única hasta el isomorfismo. [2]
Se dice que las formas cuadráticas con la misma forma central son similares o equivalentes de Witt .
Citas
- ^ Lam 2005 , p. 12.
- ^ Lorenz 2008 , p. 30.
Referencias
- Emil Artin (1957) Álgebra geométrica , página 121
- Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre campos , Estudios de posgrado en matemáticas , 67 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR 2104929 , Zbl 1068.11023
- Lorenz, Falko (2008), Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados , Springer-Verlag , págs. 15–27, ISBN 978-0-387-72487-4, Zbl 1130.12001
- O'Meara, O. Timothy (1973), Introducción a las formas cuadráticas , Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 117 , Springer-Verlag , Zbl 0259.10018