Geometric Algebra es un libro escrito por Emil Artin y publicado por Interscience Publishers , Nueva York, en 1957. Fue reeditado en 1988 en la serie Wiley Classics ( ISBN 0-471-60839-4 ).
En 1962, Algèbre Géométrique , traducción al francés de M. Lazard, fue publicada por Gauthier-Villars y reimpresa en 1996. ( ISBN 2-87647-089-6 ) En 1968 Feltrinelli publicó en Milán una traducción al italiano. [1] En 1969, Nauka publicó una traducción al ruso en Moscú [2]
Anticipada durante mucho tiempo como la secuela de Moderne Algebra (1930), que Bartel van der Waerden publicó como su versión de las notas tomadas en un curso con Artin, Geometric Algebra es una monografía de investigación adecuada para estudiantes graduados que estudian matemáticas. Del Prefacio:
- El álgebra lineal, la topología, la geometría diferencial y algebraica son las herramientas indispensables del matemático de nuestro tiempo. Con frecuencia es deseable diseñar un curso de naturaleza geométrica que sea distinto de estas grandes líneas de pensamiento y que pueda presentarse a estudiantes graduados principiantes o incluso a estudiantes universitarios avanzados. El presente libro ha surgido de las notas de clase de un curso de esta naturaleza impartido en la Universidad de Nueva York en 1955. Este curso se centró en los fundamentos de la geometría afín, la geometría de las formas cuadráticas y la estructura del grupo lineal general. Sentí necesario ampliar el contenido de estas notas incluyendo la geometría proyectiva y simpléctica y también la estructura de los grupos simplécticos y ortogonales .
El libro está ilustrado con seis configuraciones geométricas en el capítulo 2, que recorre el camino desde los axiomas geométricos hasta los axiomas de campo previamente explorados por Karl von Staudt y David Hilbert .
Contenido
El capítulo uno se titula "Nociones preliminares". Las diez secciones explican las nociones de teoría de conjuntos , espacios vectoriales , homomorfismos , dualidad , ecuaciones lineales , teoría de grupos , teoría de campos , campos ordenados y valoraciones . En la página vii Artin dice "El capítulo I debería usarse principalmente como un capítulo de referencia para las demostraciones de ciertos teoremas aislados".
El capítulo dos se titula "Geometría afín y proyectiva". Artin plantea este desafío para generar álgebra (un campo k ) a partir de axiomas geométricos:
- Dada una geometría plana cuyos objetos son los elementos de dos conjuntos, el conjunto de puntos y el conjunto de líneas; Supongamos que ciertos axiomas de naturaleza geométrica son verdaderos. ¿Es posible encontrar un campo k tal que los puntos de nuestra geometría puedan describirse mediante coordenadas de k y las líneas mediante ecuaciones lineales?
Se invoca la variante reflexiva del paralelismo : las líneas paralelas tienen todos o ninguno de sus puntos en común. Por tanto, una línea es paralela a sí misma.
El axioma 1 requiere una línea única para cada par de puntos distintos y un punto único de intersección de líneas no paralelas. El axioma 2 depende de una línea y un punto; requiere un paralelo único a la línea y a través del punto. El axioma 3 requiere tres puntos no colineales. El axioma 4a requiere una traslación para mover un punto a otro. El axioma 4b requiere una dilatación en P para mover Q a R cuando los tres puntos son colineales .
Artin escribe la línea a través de P y Q como P + Q . Para definir una dilatación , escribe: "Dejemos que se den dos puntos distintos P y Q y sus imágenes P ′ y Q ′". Para sugerir el papel de la incidencia en la geometría, esta propiedad especifica una dilatación: "Si l ′ es la línea paralela a P + Q que pasa por P ′, entonces Q ′ se encuentra en l ′". Por supuesto, si P ′ ≠ Q ′, entonces esta condición implica que P + Q es paralelo a P ′ + Q ′, por lo que la dilatación es una transformación afín .
Las dilataciones sin puntos fijos son traslaciones , y el grupo de traslaciones T se muestra como un subgrupo invariante del grupo de dilataciones. Para una dilatación σ y un punto P , la traza es P + σP . Las asignaciones T → T que son homomorfismos que conservan trazas son los elementos de k . Primero se muestra que k es un anillo asociativo con 1 , luego un campo sesgado .
Por el contrario, existe una geometría afín basada en cualquier campo de sesgo k dado . Los axiomas 4a y 4b son equivalentes al teorema de Desargues . Cuando el teorema del hexágono de Pappus se cumple en la geometría afín, k es conmutativo y, por tanto, un campo.
El capítulo tres se titula "Geometría simpléctica y ortogonal". Comienza con estructuras métricas en espacios vectoriales antes de definir la geometría simpléctica y ortogonal y describir sus características comunes y especiales. Hay secciones sobre geometría sobre campos finitos y sobre campos ordenados.
El capítulo cuatro trata sobre los grupos lineales generales . En primer lugar, está la teoría de los determinantes de Jean Dieudonne sobre "campos no conmutativos" ( anillos de división ). Artin describe la estructura del grupo GL ( n, k ). Se dan más detalles sobre los espacios vectoriales sobre campos finitos.
El capítulo cinco es "La estructura de los grupos simpléticos y ortogonales". Incluye secciones sobre espacios elípticos , álgebra de Clifford y norma espinorial.
Reseñas
Alice T. Schafer escribió: "Los matemáticos encontrarán en muchas páginas una amplia evidencia de la capacidad del autor para penetrar en un tema y presentar el material de una manera particularmente elegante". Ella nota la superposición entre el texto de Artin y el Álgebra lineal y la geometría proyectiva de Baer o La Géometrie des Groupes Classique de Dieudonné . [3]
Jean Dieudonné revisó el libro para Mathematical Reviews y lo colocó al nivel de Grundlagen der Geometrie de Hilbert . [4]
Referencias
- ^ Señor0256245
- ^ Señor0242847
- ^ Schafer, Alice T. (1958). "Revisión de álgebra geométrica por Emil Artin" . Boletín de la American Mathematical Society . 64 : 35–37. doi : 10.1090 / S0002-9904-1958-10142-1 .
- ^ Señor0082463
- Álgebra geométrica en Internet Archive