Forma cuadrática

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En matemáticas , una forma cuadrática es un polinomio con términos todos de grado dos (" forma " es otro nombre para un polinomio homogéneo ). Por ejemplo,

es una forma cuadrática en las variables x e y . Los coeficientes suelen pertenecer a un campo fijo K , como los números reales o complejos , y se habla de una forma cuadrática sobre K . Si , y la forma cuadrática toma cero solo cuando todas las variables son simultáneamente cero, entonces es una forma cuadrática definida , de lo contrario es una forma cuadrática isotrópica .${\displaystyle K=\mathbb{R} }$

Las formas cuadráticas ocupan un lugar central en varias ramas de las matemáticas, incluida la teoría de números , el álgebra lineal , la teoría de grupos ( grupo ortogonal ), la geometría diferencial ( métrica de Riemann , segunda forma fundamental ), la topología diferencial ( formas de intersección de cuatro variedades ) y la mentira . teoría (la forma de Matar ).

Las formas cuadráticas no deben confundirse con una ecuación cuadrática , que tiene solo una variable e incluye términos de grado dos o menos. Una forma cuadrática es un caso del concepto más general de polinomios homogéneos .

Las formas cuadráticas son polinomios cuadráticos homogéneos en n variables. En los casos de una, dos y tres variables se denominan unario , binario y ternario y tienen la siguiente forma explícita:

La notación se usa a menudo ^{[ cita requerida ]} para la forma cuadrática${\displaystyle \langle a_{1},\ldots,a_{n}\rangle }$

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