En matemáticas , la función zeta de Witten , es una función asociada a un sistema de raíces que codifica los grados de las representaciones irreductibles del grupo de Lie correspondiente . Estas funciones zeta fueron introducidas por Don Zagier, quien las nombró por el estudio de Edward Witten sobre sus valores especiales (entre otras cosas). [1] [2] Tenga en cuenta que en, [2] las funciones zeta de Witten no aparecen como objetos explícitos por derecho propio.
Definición
Si es un grupo de Lie semisimple compacto, la función zeta de Witten asociada es (la continuación meromórfica de) la serie
donde la suma es sobre clases de equivalencia de representaciones irreductibles de .
En el caso donde está conectado y simplemente conectado, la correspondencia entre las representaciones de y de su álgebra de Lie, junto con la fórmula de la dimensión de Weyl, implica que Se puede escribir como
dónde denota el conjunto de raíces positivas, es un conjunto de raíces simples y es el rango.
Ejemplos de
- , la función zeta de Riemann.
Abscisa de convergencia
Si es simple y simplemente conectado, la abscisa de convergencia de es , dónde es el rango y . Este es un teorema debido a Alex Lubotzky y Michael Larsen. [3] Jokke Häsä y Alexander Stasinski [4] dan una nueva demostración que arroja un resultado más general, a saber, da un valor explícito (en términos de combinatoria simple) de la abscisa de convergencia de cualquier "función zeta de Mellin" de la forma
dónde es un producto de polinomios lineales con coeficientes reales no negativos.
Referencias
- ^ Zagier, Don (1994), "Valores de las funciones Zeta y sus aplicaciones", Primer Congreso Europeo de Matemáticas París, 6 al 10 de julio de 1992 , Birkhäuser Basel, págs. 497-512, doi : 10.1007 / 978-3-0348 -9112-7_23 , ISBN 9783034899123
- ^ a b Witten, Edward (octubre de 1991). "Sobre las teorías de calibre cuántico en dos dimensiones". Comunicaciones en Física Matemática . 141 (1): 153-209. doi : 10.1007 / bf02100009 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Larsen, Michael; Lubotzky, Alexander (2008). "Representación de crecimiento de grupos lineales". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 10 (2): 351–390. arXiv : matemáticas / 0607369 . doi : 10.4171 / JEMS / 113 . ISSN 1435-9855 .
- ^ Häsä, Jokke; Stasinski, Alexander (2019). "Representación de crecimiento de grupos lineales compactos" . Transacciones de la American Mathematical Society . 372 (2): 925–980. doi : 10.1090 / tran / 7618 .