Sin pérdida de generalidad (a menudo abreviado como WOLOG , WLOG [1] o wlog ; menos comúnmente expresado como sin pérdida de generalidad o sin pérdida de generalidad ) es una expresión de uso frecuente en matemáticas . El término se usa para indicar que la suposición que sigue se elige arbitrariamente, restringiendo la premisa a un caso particular, pero no afecta la validez de la prueba en general. Los otros casos son lo suficientemente similares al presentado como para probarlos siguiendo esencialmente la misma lógica. [2] Como resultado, una vez que se da una prueba para el caso particular, es trivialadaptarlo para probar la conclusión en todos los demás casos.
En muchos escenarios, el uso de "sin pérdida de generalidad" es posible gracias a la presencia de simetría . [3] Por ejemplo, si se sabe que alguna propiedad P ( x , y ) de los números reales es simétrica en x e y , a saber, que P ( x , y ) es equivalente a P ( y , x ), entonces al demostrar que P ( x , y ) se cumple para cada x e y , se puede suponer, "sin pérdida de generalidad", quex ≤ y . No hay pérdida de generalidad en este supuesto, ya que una vez probado el caso x ≤ y ⇒ P ( x , y ), se sigue el otro caso intercambiando x e y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ), y por simetría de P , esto implica P ( x , y ), mostrando así que P ( x , y ) se cumple para todos los casos.
Por otro lado, si no se puede establecer tal simetría (u otra forma de equivalencia), entonces el uso de "sin pérdida de generalidad" es incorrecto y puede equivaler a una instancia de prueba por ejemplo , una falacia lógica de probar una afirmación. probando un ejemplo no representativo. [4]
Si tres objetos están pintados de rojo o azul, entonces debe haber al menos dos objetos del mismo color.
Suponga, sin pérdida de generalidad, que el primer objeto es rojo. Si cualquiera de los otros dos objetos es rojo, entonces hemos terminado; si no, entonces los otros dos objetos deben ser azules y todavía estamos terminados.
El argumento anterior funciona porque se podría aplicar exactamente el mismo razonamiento si se hiciera la suposición alternativa, a saber, que el primer objeto es azul, o, de manera similar, que las palabras 'rojo' y 'azul' se pueden intercambiar libremente en la redacción de la prueba En consecuencia, el uso de "sin pérdida de generalidad" es válido en este caso.